ДИНА́МИКА
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ДИНА́МИКА (от греч. δύναμις – возможность, сила), раздел механики, посвящённый изучению изменения характеристик движения материальных тел под действием приложенных к ним сил. Основы Д. свободной материальной точки заложены в нач. 17 в. Г. Галилеем, который рассмотрел падение тел под действием силы тяжести и сформулировал закон инерции. В 1687 И. Ньютон дал чёткую формулировку трёх осн. законов динамики. В 18 в. существенный вклад в постановку и решение общих задач Д. внесли Л. Эйлер, Ж. Д’Аламбер и Ж. Лагранж.
Д. – важная составляющая математич. естествознания, сформировавшая правила и приёмы построения механико-математич. моделей движения механического. Для описания движения объектов реального мира применяют разл. модели, в которых объекты принимают за материальную точку, твёрдое тело и т. п.
Динамика материальной точки
Д., основанная на положениях Галилея и Ньютона, называется классической или ньютоновской. Она описывает движение объектов, размерами которых можно пренебречь (материальных точек), со скоростями много меньшими скорости света (движение микрочастиц рассматривается в квантовой механике, движение со скоростями, близкими к скорости света, – в релятивистской механике). В классич. Д. аксиоматически вводятся понятия неподвижного пространства и абсолютного времени, одинакового во всех точках пространства и не зависящего от выбора конкретной системы координат.
Классич. Д. базируется на трёх осн. законах – Ньютона законах механики. Первый из них, называемый также законом инерции, вводит понятие инерциальной системы отсчёта, в которой материальная точка покоится или движется прямолинейно и равномерно, если на неё не действуют др. тела или влияние этих тел скомпенсировано. Меру механич. действия одного тела на другое называют силой. Второй закон устанавливает, что действие силы $\boldsymbol F$ на материальную точку массой $m$ вызывает ускорение $\boldsymbol w$ точки, определяемое равенством $$\boldsymbol w= \boldsymbol F/m.\tag1$$Третий закон Д. устанавливает, что при взаимодействии двух материальных точек возникает пара сил, равных по величине и противоположных по направлению (см. Действия и противодействия закон). Если к телу приложено неск. сил, то в соответствии с принципом независимости действия сил каждая из них сообщает телу такое же ускорение, какое она сообщила бы, если бы действовала одна. Поэтому в качестве $\boldsymbol F$ в уравнении $(1)$ рассматривается равнодействующая сил, действующих на тело.
Д. решает 2 класса задач: прямые и обратные. Прямая задача Д. состоит в определении движения точки, происходящего под действием заданных сил. Сила $\boldsymbol F$ считается заданной, если известна её зависимость от времени $t$ и векторов $\boldsymbol r$ и $\boldsymbol v$, определяющих положение и скорость материальной точки: $$\boldsymbol F=\boldsymbol F (\boldsymbol r, \boldsymbol v, t).\tag2$$В этом случае равенство $(1)$ превращается в дифференциальное уравнение движения точки. Его решение описывает зависимость вектора $\boldsymbol r$ от времени и начальных условий: $$\boldsymbol r= \boldsymbol r(t, \boldsymbol r_0, \boldsymbol v_0).\tag3$$
Примером подобной задачи может служить задача по определению траектории движения снаряда по его начальной скорости (силы тяжести и сопротивления воздуха считаются известными).
Обратная задача Д. состоит в определении силы, обеспечивающей заданное движение: по семейству законов движения, описываемых выражением $(3)$, требуется восстановить зависимость силы $(2)$ от перечисленных аргументов. Классич. примером решения этой задачи является открытие И. Ньютоном закона всемирного тяготения. Рассматривая Кеплера законы движения планет, Ньютон пришёл к выводу, что эти движения происходят под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от Солнца до планеты и не зависящей ни от времени, ни от скоростей движения планет.
В ряде задач Д. удобно использовать разл. динамич. меры движения точки: импульс (количество движения) $\boldsymbol K=m \boldsymbol v$, момент импульса (кинетический момент) относительно начала координат $\boldsymbol G= \boldsymbol r \times m\boldsymbol v$, кинетическую энергию $T=mv^2/2$. При помощи этих мер уравнение $(1)$ можно записать в виде закона изменения импульса $d \boldsymbol K/dt= \boldsymbol F$, или закона изменения момента импульса $d \boldsymbol G/dt= \boldsymbol r \times \boldsymbol F= \boldsymbol M$, где $\boldsymbol M$ – момент силы относительно начала координат, или закона изменения энергии $dT/dt=Fv=N$, где $N$ – мощность силы $\boldsymbol F$.
Динамика системы свободных точек
Движение системы свободных материальных точек с массами $m_i$можно описать совокупностью уравнений вида $(1)$, вводя суммарные меры движения: импульс системы точек $\boldsymbol K= \displaystyle \sum_i m_i \boldsymbol v_i=m \boldsymbol v_c$, где $m$ – общая масса системы, $\boldsymbol v_c$ – скорость центра масс системы; гл. кинетич. момент системы $\boldsymbol G=\displaystyle \sum_i \boldsymbol r_i \times m_i \boldsymbol v_i$; кинетич. энергию $T= ^1/_2\displaystyle \sum_i m_iv_i^2$. Соотношения между суммарными мерами движения и силами, приложенными к точкам, называются общими теоремами динамики. К этим теоремам относятся следующие. 1) Теорема об изменении импульса системы: изменение импульса системы за любой промежуток времени равняется геометрич. сумме импульсов, действующих на систему внешних сил. Следствиями этой теоремы являются закон сохранения импульса системы и теорема о движении центра масс системы. 2) Теорема об изменении гл. кинетич. момента системы: производная по времени от гл. кинетич. момента системы относительно любого неподвижного центра (или оси) равна сумме моментов действующих внешних сил относительно того же центра (или оси). Следствием данной теоремы является закон сохранения гл. кинетич. момента системы при равенстве нулю суммы моментов внешних сил. 3) Теорема об изменении кинетич. энергии системы: изменение кинетич. энергии системы при любом её перемещении равняется сумме работ всех приложенных сил на том же перемещении. Для случая, когда все приложенные силы потенциальны, из теоремы вытекает закон сохранения механич. энергии.
Динамика систем со связями
В моделях, описывающих разл. движения, происходящие в природе и технике, объекты рассматриваются как системы материальных точек и твёрдых тел, соединённых связями механическими. В этих случаях в задачу Д. входит определение не только закона движения системы связанных точек и тел, но и сил реакции связей. Последние добавляются в уравнение $(1)$, записываемое для каждой точки системы. Для систем с т. н. идеальными связями (для которых сумма элементарных работ всех реакций при любом возможном перемещении системы равна нулю) Ж. Д’Аламбер и Ж. Лагранж разработали общие методы составления уравнений движения, не содержащих реакций связей (см. Д’Аламбера принцип и Д’Аламбера – Лагранжа принцип). Эти методы приводят к несколько иной формулировке общих теорем Д. (добавляются условия, налагаемые на связи), а сохранения законы динамич. мер приобретают математически строгую форму интегралов уравнений движения.
Кинетич. энергия – скалярная величина, обладающая определённой универсальностью. Ж. Лагранж ввёл понятие обобщённых координат и записал кинетич. энергию в виде функции от обобщённых скоростей и обобщённых координат. Используя эту функцию, Лагранж вывел новую форму уравнений движения механич. голономных систем (см. Лагранжа уравнения, Гамильтона уравнения, Вариационные принципы механики). Изучением свойств этих уравнений и их решений занимается аналитическая механика, методы которой нашли широкое применение в разл. областях физики.
Динамика относительного движения
Мн. задачи механики сводятся к изучению движения одного объекта относительно другого, с которым нельзя связать инерциальную систему координат (напр., движение тела относительно вращающейся Земли). В этом случае уравнение относит. движения материальной точки можно свести к виду $(1)$, если к числу сил $\boldsymbol F$ добавить силы инерции: переносную $\boldsymbol F_e=-m \boldsymbol w_e$ и кориолисову $\boldsymbol F_c=-m \boldsymbol w_c$, где $\boldsymbol w_e$, $\boldsymbol w_c$ – соответственно переносное и кориолисово ускорения. Примерами задач Д. относит. движения могут служить задачи эксперим. доказательства вращения Земли (падение тела на вращающейся Земле с отклонением к востоку, маятник Фуко), задачи описания движения космонавта относительно космич. станции и др. На эффектах относит. движения основан предложенный Дж. Уаттом центробежный регулятор угловой скорости вращения, используемый в технике.
Динамика твёрдого тела
В этом разделе Д. рассматриваются движения, в которых тело нельзя считать материальной точкой. Простейшая задача такого типа – задача о вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси $L$. В этом случае тело имеет одну степень свободы, его положение определяется одной обобщённой координатой – углом поворота $\varphi$. Производная $\varphi$ по времени называется угловой скоростью $\omega$. В рассматриваемой задаче роль уравнения $(1)$ играет уравнение вращения твёрдого тела: $I_\varepsilon=M$, где $\varepsilon$ – угловое ускорение тела, $I$ – момент инерции тела, $M$ – вращающий момент (момент сил, приложенных к телу) относительно оси $L$. Если $M$ = 0, то тело совершает вращение с постоянной угловой скоростью (угловое ускорение равно нулю).
Эта задача применяется при моделировании вращающихся элементов машин (роторов, маховиков и т. п.). В технич. приложениях Д. твёрдого тела важно учитывать также силы реакции опор, на которых закреплена ось $L$. Величина этих сил растёт пропорционально квадрату угловой скорости. Для машин с высокооборотными маховиками реакции настолько велики, что способны вызвать деформацию опор или оси и вибрацию машины. Для уменьшения вибраций (напр., в автомобильном колесе) производится изменение распределения масс маховика – его балансировка, что достигается приближением центра масс к оси вращения (статич. балансировка) или приближением т. н. главной оси инерции тела к оси вращения (динамич. балансировка).
Более сложная типовая задача этого раздела Д. – вращение твёрдого тела вокруг неподвижной точки $O$. Для решения таких задач Л. Эйлер ввёл систему декартовых координат $Oxyz$, связанную с вращающимся телом. В данной задаче тело имеет 3 степени свободы, а его положение в выбранной системе координат часто определяют 3 углами (Эйлера углами): углом нутации, углом прецессии и углом собственного вращения. Производные по времени от углов Эйлера связаны с проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения тела кинематич. Эйлера уравнениями. Направив оси $x$, $y$, $z$ по гл. осям инерции тела, Эйлер придал системе динамич. уравнений вращения тела компактный и симметричный вид: $$I_xd \omega_x/dt+(I_z-I_y) \omega_y\omega_z=M_x,$$ $$I_yd \omega_y/dt+(I_x-I_z) \omega_z \omega_x=M_y,$$ $$I_zd \omega_z/dt+(I_y-I_x)\omega_x \omega_y=M_z.$$Здесь $I_x$, $I_y$, $I_z$ – гл. моменты инерции тела относительно осей $Ox$, $Oy$, $Oz$; $M_x$, $M_y$, $M_z$ – моменты сил, приложенных к телу, относительно тех же осей; $\omega_x$, $\omega_y$, $\omega_z$ – проекции вектора мгновенной угловой скорости. Т. к. вращающие моменты могут зависеть от времени, углов Эйлера и угловых скоростей, решения этих уравнений известны лишь при частных предположениях о действующих силах и расположении масс в теле.
Задача о движении свободного твёрдого тела, имеющего 6 степеней свободы, обсуждается в связи с проблемами моделирования поступательно-вращательного движения небесных тел, ракет, снарядов и др. объектов. Для решения таких задач часто выбирается система координат, связанная с центром масс тела и движущаяся поступательно. Относительно такой системы координат рассматривается вращательное движение тела с применением методов Д. твёрдого тела.
Помимо установления общих методов изучения движения под действием сил в Д. рассматриваются также спец. задачи: Д. гироскопич. систем (см. Гироскоп), теория колебаний механич. систем, теория устойчивости движения, механика тел переменной массы, теория удара и др. В результате применения моделей Д. к изучению движения конкретных объектов возник ряд самостоят. дисциплин: небесная механика, динамика механизмов и машин, динамика полёта летательных аппаратов, Д. транспортных средств и др. С помощью законов Д. изучается также движение сплошной среды – упруго и пластически деформируемых тел, а также жидкостей и газов (см. Упругость, Пластичность, Гидродинамика, Динамика разреженных газов, Аэродинамика, Газовая динамика).