ГОЛОНО́МНЫЕ СИСТЕ́МЫ

ГОЛОНО́МНЫЕ СИСТЕ́МЫ, ме­ха­нич. сис­те­мы, на ко­то­рые ли­бо не на­ло­же­ны ни­ка­кие свя­зи, ли­бо на­ло­же­ны толь­ко го­ло­ном­ные (гео­мет­ри­че­ские) свя­зи (см. Свя­зи ме­ха­ни­че­ские

). Эти свя­зи, на­кла­ды­ваю­щие ог­ра­ни­че­ния на по­ло­же­ния то­чек сис­те­мы, пред­став­ля­ют­ся в фор­ме ко­неч­ных со­от­но­ше­ний ви­да $$f_j(x_1,...,x_{3N},t)=0\\ (j=1,...,𝑘; 𝑘<3N).(1)$$ Здесь $t$ – вре­мя, $x_ν(ν=1,...,3N)$ – де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты то­чек, $N$ – чис­ло то­чек сис­те­мы, $𝑘$ – чис­ло на­ло­жен­ных свя­зей.

Свя­зи (1) на­кла­ды­ва­ют ог­ра­ни­че­ния не толь­ко на по­ло­же­ние $x_ν$ то­чек сис­те­мы, но и, бу­ду­чи про­диф­фе­рен­ци­ро­ва­ны по вре­ме­ни, на их ско­ро­сти $v_ν=dx_ν/dt$.

Пред­по­ла­гая $𝑘$ функ­ций $f_s$ не­за­ви­симы­ми, по­ло­же­ние Г. с. мож­но за­дать $n= 3N-𝑘$ не­за­ви­си­мы­ми па­ра­мет­ра­ми $q_i$, при по­мо­щи ко­то­рых урав­не­ния свя­зей (1) мож­но пред­ста­вить в фор­ме $x_ν=x_ν(q_1, ..., q_n, t)\,(ν=1, ..., 3N)$. Па­ра­мет­ры $q_i$ на­зы­ва­ют­ся обоб­щён­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми

, а их чис­ло $n$ – чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды го­ло­ном­ных сис­тем.

При­ме­ра­ми Г. с. яв­ля­ют­ся: ма­те­ри­аль­ная точ­ка с ко­ор­ди­на­та­ми $x, y, z$, дви­жу­щая­ся по по­верх­но­сти, за­дан­ной урав­не­ни­ем $f(x,y,z,t)=0$ (2 сте­пе­ни сво­бо­ды); две ма­те­ри­аль­ные точ­ки с ко­ор­ди­на­та­ми $x_1,y_1,z_1,$ и $x_2,y_2,z_2,$ со­еди­нён­ные не­ве­со­мым аб­со­лют­но твёр­дым стерж­нем и дви­жу­щие­ся в про­стран­ст­ве (5 сте­пе­ней сво­бо­ды); твёр­дое те­ло, дви­жу­ще­еся по глад­кой го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти (5 сте­пе­ней сво­бо­ды).

Г. с. прин­ци­пи­аль­но от­ли­ча­ют­ся от не­го­ло­ном­ных сис­тем, под­чи­нён­ных не­го­ло­ном­ным свя­зям, ко­то­рые на­кла­ды­ва­ют ог­ра­ни­че­ния на ско­ро­сти то­чек сис­те­мы, но при этом не мо­гут быть пред­став­ле­ны в фор­ме ко­неч­ных со­от­но­ше­ний ви­да (1).

Боль­шин­ст­во ме­то­дов ана­ли­ти­че­ской ме­ха­ни­ки

раз­ви­то имен­но для Г. с. К та­ким сис­те­мам (в от­ли­чие от не­го­ло­номных) при­ме­ни­мы все ва­риа­ци­он­ные прин­ци­пы ме­ха­ни­ки

 >>

. Дви­же­ние Г. с. опи­сы­ва­ет­ся Ла­гран­жа урав­не­ния­ми

 >>

1-го и 2-го ро­да, Га­миль­то­на урав­не­ния­ми

 >>

.