ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНА́ТЫ

ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНА́ТЫ (ла­гран­же­вы ко­ор­ди­на­ты), не­за­ви­си­мые ска­ляр­ные ве­ли­чи­ны, за­да­ние ко­то­рых по­зво­ля­ет од­но­знач­но оп­ре­де­лить в лю­бой мо­мент вре­ме­ни $t $по­ло­же­ние го­ло­ном­ной сис­те­мы. Вве­де­ны Ж. Ла­гран­жем в 1788. Чис­ло О. к. долж­но быть ми­ни­маль­ным; это чис­ло n на­зы­ва­ет­ся чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды ме­ха­нич. сис­те­мы, на ко­то­рую на­ло­же­ны го­ло­ном­ные свя­зи. В ро­ли О. к. мо­гут вы­сту­пать рас­стоя­ния, уг­лы и т. п., но О. к. мо­гут и не иметь не­по­сред­ст­вен­но­го гео­мет­рич. тол­ко­ва­ния. Де­кар­то­вы или кри­во­ли­ней­ные ко­ор­ди­на­ты то­чек сис­те­мы без свя­зей так­же мож­но рас­смат­ри­вать как обоб­щён­ные ко­ор­ди­на­ты.

О. к. обыч­но обо­зна­ча­ют­ся $q_1, ..., q_n$. Ес­ли по­ло­же­ния $N$ то­чек ме­ха­нич. сис­те­мы оп­ре­де­ле­ны ра­ди­ус-век­то­ра­ми $\mathbf r_ν$ от­но­си­тель­но не­ко­то­рой не­го­ло­ном­ной де­кар­то­вой сис­те­мы ко­ор­ди­нат, то $\mathbf r_ν=\mathbf r_ν(q1, ..., q_n, t) (ν=1, ..., N)$. О. к. долж­ны быть вы­бра­ны та­ким об­ра­зом, что­бы при не­ко­то­рых их зна­че­ни­ях мог­ли быть по­лу­че­ны все воз­мож­ные по­ложе­ния сис­те­мы. Ес­ли это не уда­ёт­ся сде­лать для всех по­ло­же­ний сис­те­мы, то О. к. сле­ду­ет вво­дить ло­каль­но, т. е. от­дель­но для разл. со­во­куп­но­стей воз­мож­ных по­ло­же­ний.

О. к. оп­ре­де­ля­ют­ся не­од­но­знач­но. Удач­ный вы­бор О. к. мо­жет су­ще­ст­вен­но уп­ро­стить опи­са­ние и ре­ше­ние ме­ха­нич. за­да­чи. При­ме­не­ние О. к. для изу­че­ния дви­же­ния ме­ха­нич. сис­те­мы яв­ля­ет­ся су­ще­ст­вен­ной осо­бен­но­стью ана­ли­тич. ме­ха­ни­ки. Урав­не­ния дви­же­ния го­ло­ном­ных ме­ха­нич. сис­тем в О. к. име­ют вид Ла­гран­жа урав­не­ний 2-го ро­да: $$\frac{d}{dt}\big(\frac{\delta T}{\delta \dot {q_i}}\big)-\frac{\delta T}{\delta \dot {q_i}}=Q_i, \quad (i=1,\ldots, n).$$Здесь $q̇_i=dq_i/dt$– обоб­щён­ные ско­ро­сти, $T$ – ки­не­тич. энер­гия сис­те­мы (за­ви­ся­щая от О. к., обоб­щён­ных ско­ро­стей и вре­ме­ни), $Q_i$ – обоб­щён­ная си­ла, со­от­вет­ст­вую­щая О. к. $q_i$.