ЛАГРА́НЖА УРАВНЕ́НИЯ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ЛАГРА́НЖА УРАВНЕ́НИЯ механики, обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, описывающие движение механич. систем под воздействием приложенных к ним сил. Выведены Ж. Лагранжем в 1788 в двух формах: Л. у. 1-го рода – уравнения в декартовых координатах с неопределёнными множителями Лагранжа, и Л. у. 2-го рода – уравнения в обобщённых лагранжевых координатах.
Л. у. 1-го рода имеют вид $$m_ν\ddot{x}_ν=X_ν+\sum\limits ^k_{s=1}\lambda_s\frac{\partial f_s}{\partial x_ν}+\sum \limits^m_{r=1}\mu_r\frac{\partial \varphi_r}{\partial \dot{x}_ν}\\(ν=1, ..., 3N).\tag1$$Здесь $f_s(x_1, …, x_{3N}, t)= 0 (s= 1, ..., 𝑘 )$ – геометрич. связи, $φ_r(x_1, …, x_{3N}, \dot{x}_1, …,\dot{x}_{3N} , t)=0 (r=1, ..., m)$ – кинематич. связи, накладываемые на механич. систему; $N$ – число точек системы; $t$ – время; $𝑘$ и $m$ – число геометрич. и кинематич. связей соответственно; $x_ν$ – декартовы координаты ( – скорости, – ускорения) точек; $m_ν$ – массы точек; $X_ν$ – проекции на оси координат заданных активных сил; $λ_s$ и $μ_r$ – неопределённые множители Лагранжа, пропорциональные реакциям связей. Дифференциальные уравнения (1) вместе с $𝑘+m$ уравнениями связей составляют замкнутую систему уравнений относительно $3N+𝑘+m$ неизвестных $x_ν, λ_s, μ_r$. На практике Л. у. 1-го рода применяются редко.
$n$Л. у. 2-го рода могут быть выведены из Д’Аламбера – Лагранжа принципа или из наименьшего действия принципа. Л. у. 2-го рода представляют собой дифференциальные уравнения движения несвободной механич. системы, на которую наложены голономные удерживающие идеальные связи (см. Связи механические). Неизвестными величинами в этих уравнениях являются обобщённые координаты $q_i (i=1,...,n)$ – независимые параметры, определяющие положение механич. системы; их число $n$ равно числу степеней свободы системы. Л. у. 2-го рода имеют вид $\frac{d}{dt} \left \lgroup \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} \right \rgroup -\frac {\partial T}{\partial q_i}=Q_i \tag 2\\ (i=1,…,n).$Здесь – обобщённые скорости, $T$ – кинетич. энергия системы, $Q_i$ – обобщённые активные силы. Если некоторые связи не являются идеальными, то соответствующие им реакции связей (силы трения) добавляют к действующим на систему активным силам. Уравнения (2) представляют собой систему $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неизвестными функциями $q_i$. Форма Л. у. не зависит от выбора обобщённых координат. При др. выборе изменились бы только функции $T$ и $Q$, а сама форма уравнений (2) осталась бы той же.
Система уравнений движения (2) имеет наименьший возможный порядок $2n$. В этом, а также в отсутствии в уравнениях (2) неизвестных реакций связей состоит большое преимущество уравнений (2) по сравнению с Л. у. 1-го рода, которое делает их удобными для практич. использования. Общее решение уравнений (2) зависит от $2n$ произвольных постоянных (начальных условий): начальных значений обобщённых координат и обобщённых скоростей. Уравнения (2) всегда разрешимы относительно обобщённых ускорений $ \ddot{q}_i$, т. к. квадратичная часть функции $T(q_i,\dot{q}_i , t)$ является положительно определённой квадратичной формой переменных $\dot{q}_i$.
Если силы, действующие на механич. систему, потенциальны, то $Q_i=-𝜕Π /𝜕q_i (i=1, ..., n)$, где $Π(q_1, …, q_n, t)$ – потенциальная энергия системы. В таком случае уравнения (2) принимают вид $$\frac{d}{dt}\left \lgroup\frac {\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right \rgroup-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\text{ } (i=1,…,n), \tag3$$где $L(q_i,\dot{q}_i,t)=T-\Pi$ – Лагранжа функция.
В физике важную роль играют Л. у. именно в форме (2), поскольку в соответствии с принципом наименьшего действия экстремальное значение действия определяется из следующего условия: функция L должна удовлетворять уравнениям (3). Л. у. вида (3) справедливы для любой физич. системы (сплошная среда, гравитационное или электромагнитное поле и др.), для которой справедлив принцип наименьшего действия.
В гидроаэродинамике Л. у. называют уравнения движения жидкости (газа) в переменных Лагранжа, которыми являются время $t$ и некоторые независимые параметры $a_i (i=1, 2, 3)$, описывающие характеристики отд. частицы среды (напр., её декартовы координаты в некоторый начальный момент времени). Эти Л. у. представляют собой уравнения в частных производных и имеют вид $$\left \lgroup (X-\frac{\partial ^2x}{\partial t^2}\right \rgroup \frac{\partial x}{\partial a_i}+\left \lgroup Y-\frac{\partial ^2y}{\partial t^2}\right \rgroup \frac{\partial y}{\partial a_i}+\left \lgroup (Z-\frac{\partial ^2z}{\partial t^2}\right \rgroup\frac{\partial z}{\partial a_i}=\frac {1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial a_i} \text{ }(i=1,\text{ }2,\text{ }3).\tag4$$ Здесь $x, y, z$ – координаты частицы среды, $X, Y, Z$ – проекции объёмных сил, $p$ – давление, $ρ$ – плотность среды.
К уравнениям (4) следует добавить неразрывности уравнение (тоже в переменных Лагранжа) и уравнение состояния, напр. в виде $ρ=f(p)$. При решении конкретных задач эту совокупность уравнений дополняют начальными и граничными условиями. Альтернативой Л. у. являются Эйлера уравнения.