НАИМЕ́НЬШЕГО ДЕ́ЙСТВИЯ ПРИ́НЦИП
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
НАИМЕ́НЬШЕГО ДЕ́ЙСТВИЯ ПРИ́НЦИП, интегральный вариационный принцип механики. Формулируется в разл. формах, отличающихся друг от друга классом сравниваемых кинематически возможных движений и выбором некоторого определённого интеграла, называемого действием, значения которого сравниваются для истинного и кинематически возможных движений.
Первую словесную формулировку Н. д. п. дал П. Л. Мопертюи в 1744. Он утверждал, что когда в природе происходит некоторое изменение, то количество действия, необходимого для этого изменения, является наименьшим из всех возможных. Первая математич. формулировка Н. д. п. для частного случая изолированных тел принадлежит Л. Эйлеру (1744). В 1760 Н. д. п. был выведен Ж. Лагранжем из законов механики. Наиболее общей формой Н. д. п. является принцип, установленный У. Гамильтоном (1835) для систем, стеснённых идеальными голономными (геометрическими) стационарными связями и находящихся под действием потенциальных сил. Он был обобщён М. В. Остроградским (1848) на случай нестационарных голономных связей.
Принцип наименьшего действия Гамильтона – Остроградского
Среди множества бесконечно близких кинематически возможных движений, совершаемых между начальным и конечным положениями системы и протекающих за один и тот же промежуток времени $t–t_0$, реальное движение обладает тем свойством, что на этом движении действие по Гамильтону имеет стационарное значение. Если промежуток времени $t–t_0$ достаточно мал, то действие по Гамильтону будет минимальным (отсюда назв. принципа).
Выражение для действия по Гамильтону за промежуток времени $t–t_0$ имеет вид:$$S=\int \limits_{t_0}^t Ldt,$$где $L=T-Π$ – Лагранжа функция, $T$ и $\text Π$ – соответственно кинетич. и потенциальная энергия системы. Математически принцип Гамильтона – Остроградского выражается соотношением $δS=0$. Из этого уравнения выводятся Лагранжа уравнения 2-го рода в обобщённых координатах и канонические Гамильтона уравнения для обобщённых координат и импульсов.
Для систем, стеснённых стационарными связями и находящихся под действием потенциальных сил, не зависящих явно от времени, существует интеграл энергии $E=T+\text Π=h= \text{const}$. В этом случае множество сравниваемых кинематически возможных движений, переводящих систему из положения $P_0$ в положение $P_1$, можно ограничить только теми движениями, при которых полная механич. энергия $E$ имеет одно и то же фиксированное значение $h$. При этом считают, что сравниваемые движения протекают за разл. промежутки времени $t–t_0$.
Принцип наименьшего действия Лагранжа
Если заданы начальный момент времени $t_0$, начальное и конечное положения голономной системы, для которой существует интеграл энергии, то среди множества кинематически возможных движений, совершаемых между начальным и конечным положениями системы и имеющих одно и то же значение энергии $h$, реальное движение обладает тем свойством, что на этом движении действие по Лагранжу имеет стационарное значение.
Выражение для действия по Лагранжу за промежуток времени $t–t_0$ имеет вид: $$W=\int\limits_{t_0}^t 2Tdt.$$ Математически принцип Лагранжа выражается соотношением $δW=0$.
Принцип наименьшего действия Якоби
Выразив действие по Лагранжу через интеграл энергии, К. Якоби в 1837 получил новую форму Н. д. п. В обобщённых координатах $q$ кинетич. энергия системы имеет вид: $$T=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^na_{ij}(q_1,...,q_n)\dot{q}_i\dot{q}_j,$$
Если заданы начальное и конечное положения голономной консервативной системы, то среди множества кинематически возможных движений, совершаемых между начальным и конечным положениями системы и имеющих одно и то же значение энергии $h$, реальное движение обладает тем свойством, что на этом движении действие по Якоби имеет стационарное значение.
Выражение для действия по Якоби имеет вид:$$W_{\text Я}=\int\limits_{P_0}^{P_1}\sqrt{2(h-\text Π)}ds.$$ Математически принцип Якоби выражается соотношением $δW_{\text Я}=0$.
Если движение системы происходит в отсутствие заданных сил ($\text Π=0$), то принцип Якоби записывается в виде: $$δ\int\limits_{P_0}^{P_1}ds=0.$$ Это означает, что в реальном движении точка, изображающая состояние системы в пространстве обобщённых координат, движется по геодезической линии.
Для случая одной материальной точки принцип Якоби представляет собой механич. аналог Ферма принципа в оптике.