НАИМЕ́НЬШЕГО ДЕ́ЙСТВИЯ ПРИ́НЦИП

  • рубрика

    Рубрика: Физика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 21. Москва, 2012, стр. 698

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: В. М. Морозов

НАИМЕ́НЬШЕГО ДЕ́ЙСТВИЯ ПРИ́НЦИП, ин­те­граль­ный ва­риа­ци­он­ный прин­цип ме­ха­ни­ки. Фор­му­ли­ру­ет­ся в разл. фор­мах, от­ли­чаю­щих­ся друг от дру­га клас­сом срав­ни­вае­мых ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ных дви­же­ний и вы­бо­ром не­ко­то­ро­го оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­ла, на­зы­вае­мо­го дей­ст­ви­ем, зна­че­ния ко­то­ро­го срав­ни­ва­ют­ся для ис­тин­но­го и ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ных дви­же­ний.

Пер­вую сло­вес­ную фор­му­ли­ров­ку Н. д. п. дал П. Л. Мо­пер­тюи в 1744. Он ут­вер­ждал, что ко­гда в при­ро­де про­ис­хо­дит не­ко­то­рое из­ме­не­ние, то ко­ли­че­ст­во дей­ст­вия, не­об­хо­ди­мо­го для это­го из­мене­ния, яв­ля­ет­ся наи­мень­шим из всех воз­мож­ных. Пер­вая ма­те­ма­тич. фор­му­ли­ров­ка Н. д. п. для ча­ст­но­го слу­чая изо­ли­ро­ван­ных тел при­над­ле­жит Л. Эй­ле­ру (1744). В 1760 Н. д. п. был вы­ве­ден Ж. Ла­гран­жем из за­ко­нов ме­ха­ни­ки. Наи­бо­лее об­щей фор­мой Н. д. п. яв­ля­ет­ся прин­цип, ус­та­нов­лен­ный У. Га­мильто­ном­ (1835) для сис­тем, стес­нён­ных иде­аль­ны­ми го­ло­ном­ны­ми (гео­мет­риче­скими) ста­цио­нар­ны­ми свя­зя­ми и на­хо­дя­щих­ся под дей­ст­ви­ем по­тен­ци­аль­ных сил. Он был обоб­щён М. В. Ост­ро­град­ским (1848) на слу­чай не­ста­цио­нар­ных го­ло­ном­ных свя­зей.

Принцип наименьшего действия Гамильтона – Остроградского

Сре­ди мно­же­ст­ва бес­ко­неч­но близ­ких ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ных дви­же­ний, со­вер­шае­мых ме­ж­ду на­чаль­ным и ко­неч­ным по­ло­же­ния­ми сис­те­мы и про­те­каю­щих за один и тот же про­ме­жу­ток вре­ме­ни $t–t_0$, ре­аль­ное дви­же­ние об­ла­да­ет тем свой­ст­вом, что на этом дви­же­нии дей­ст­вие по Га­миль­то­ну име­ет ста­цио­нар­ное зна­че­ние. Ес­ли про­ме­жу­ток вре­ме­ни $t–t_0$ дос­та­точ­но мал, то дей­ст­вие по Га­миль­то­ну бу­дет ми­ни­маль­ным (от­сю­да назв. прин­ци­па).

Вы­ра­же­ние для дей­ст­вия по Га­миль­то­ну за про­ме­жу­ток вре­ме­ни $t–t_0$ име­ет вид:$$S=\int \limits_{t_0}^t Ldt,$$где $L=T-Π$ – Ла­гран­жа функ­ция, $T$ и $\text Π$ – со­от­вет­ст­вен­но ки­не­тич. и по­тен­ци­аль­ная энер­гия сис­те­мы. Ма­те­ма­ти­че­ски прин­цип Га­миль­то­на – Ост­ро­град­ско­го вы­ра­жа­ет­ся со­от­но­ше­ни­ем $δS=0$. Из это­го урав­не­ния вы­во­дят­ся Ла­гран­жа урав­не­ния 2-го ро­да в обоб­щён­ных ко­ор­ди­на­тах и ка­но­ни­че­ские Га­миль­то­на урав­не­ния для обоб­щён­ных ко­ор­ди­нат и им­пуль­сов.

Для сис­тем, стес­нён­ных ста­цио­нар­ны­ми свя­зя­ми и на­хо­дя­щих­ся под дей­ст­ви­ем по­тен­ци­аль­ных сил, не за­ви­ся­щих яв­но от вре­ме­ни, су­ще­ст­ву­ет ин­те­грал энер­гии $E=T+\text Π=h= \text{const}$. В этом слу­чае мно­же­ст­во срав­ни­вае­мых ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ных дви­же­ний, пе­ре­во­дя­щих сис­те­му из по­ло­же­ния $P_0$ в по­ло­же­ние $P_1$, мож­но ог­ра­ни­чить толь­ко те­ми дви­же­ния­ми, при ко­то­рых пол­ная ме­ха­нич. энер­гия $E$ име­ет од­но и то же фик­си­ро­ван­ное зна­че­ние $h$. При этом счи­та­ют, что срав­ни­вае­мые дви­же­ния про­те­ка­ют за разл. про­ме­жут­ки вре­ме­ни $t–t_0$.

Принцип наименьшего действия Лагранжа

Ес­ли за­да­ны на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни $t_0$, на­чаль­ное и ко­неч­ное по­ло­же­ния го­ло­ном­ной сис­те­мы, для ко­то­рой су­ще­ст­ву­ет ин­те­грал энер­гии, то сре­ди мно­же­ст­ва ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ных дви­же­ний, со­вер­шае­мых ме­ж­ду на­чаль­ным и ко­неч­ным по­ло­же­ния­ми сис­те­мы и имею­щих од­но и то же зна­че­ние энер­гии $h$, ре­аль­ное дви­же­ние об­ла­да­ет тем свой­ст­вом, что на этом дви­же­нии дей­ст­вие по Ла­гран­жу име­ет ста­цио­нар­ное зна­че­ние.

Вы­ра­же­ние для дей­ст­вия по Ла­гран­жу за про­ме­жу­ток вре­ме­ни $t–t_0$ име­ет вид: $$W=\int\limits_{t_0}^t 2Tdt.$$ Ма­те­ма­ти­че­ски прин­цип Ла­гран­жа вы­ра­жа­ет­ся со­от­но­ше­ни­ем $δW=0$.

Принцип наименьшего действия Якоби

Вы­ра­зив дей­ст­вие по Ла­гран­жу че­рез ин­те­грал энер­гии, К. Яко­би в 1837 по­лу­чил но­вую фор­му Н. д. п. В обоб­щён­ных ко­ор­ди­на­тах $q$ ки­не­тич. энер­гия сис­те­мы име­ет вид: $$T=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^na_{ij}(q_1,...,q_n)\dot{q}_i\dot{q}_j,$$

T=12i,j=1naij(q1,...,qn)q˙iq˙j,
где ко­эф­фи­ци­ен­ты $a_{ij}(q_1,...,q_n)$ – из­вест­ные функ­ции, $n$ – чис­ло сте­пе­ней сво­бо­ды сис­те­мы. В про­стран­ст­ве обоб­щён­ных ко­ор­ди­нат рас­стоя­ние $ds^2$ ме­ж­ду дву­мя близ­ки­ми точ­ка­ми, за­да­вае­мы­ми на­бо­ра­ми ко­ор­ди­нат $q_1,...,q_n$ и $q_1+dq_1,...,q_n+dq_n$, оп­ре­де­ля­ет­ся фор­му­лой:$$ds^2=\sum_{i,j=1}^na_{ij}(q_1,...,q_n)dq_idq_j.$$

 

Ес­ли за­да­ны на­чаль­ное и ко­неч­ное по­ло­же­ния го­ло­ном­ной кон­сер­ва­тив­ной сис­те­мы, то сре­ди мно­же­ст­ва ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ных дви­же­ний, со­вер­шае­мых ме­ж­ду на­чаль­ным и ко­неч­ным по­ло­же­ния­ми сис­те­мы и имею­щих од­но и то же зна­че­ние энер­гии $h$, ре­аль­ное дви­же­ние об­ла­да­ет тем свой­ст­вом, что на этом дви­же­нии дей­ст­вие по Яко­би име­ет ста­цио­нар­ное зна­че­ние.

Вы­ра­же­ние для дей­ст­вия по Яко­би име­ет вид:$$W_{\text Я}=\int\limits_{P_0}^{P_1}\sqrt{2(h-\text Π)}ds.$$ Ма­те­ма­ти­че­ски прин­цип Яко­би вы­ра­жа­ет­ся со­от­но­ше­ни­ем $δW_{\text Я}=0$.

Ес­ли дви­же­ние сис­те­мы про­ис­хо­дит в от­сут­ст­вие за­дан­ных сил ($\text Π=0$), то прин­цип Яко­би за­пи­сы­ва­ет­ся в ви­де: $$δ\int\limits_{P_0}^{P_1}ds=0.$$ Это оз­на­ча­ет, что в ре­аль­ном дви­же­нии точ­ка, изо­бра­жаю­щая со­стоя­ние сис­те­мы в про­стран­ст­ве обоб­щён­ных ко­ор­ди­нат, дви­жет­ся по гео­де­зи­че­ской ли­нии.

Для слу­чая од­ной ма­те­ри­аль­ной точ­ки прин­цип Яко­би пред­став­ля­ет со­бой ме­ха­нич. ана­лог Фер­ма прин­ци­па в оп­ти­ке.

Вернуться к началу