АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ МЕХА́НИКА

АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ МЕХА́НИКА, раз­дел клас­сич. ме­ха­ни­ки, рас­смат­ри­ваю­щий та­кие сис­те­мы ма­те­ри­аль­ных то­чек или тел, со­стоя­ние ко­то­рых мо­жет быть стро­го опи­са­но за­да­ни­ем ко­неч­но­го чис­ла па­ра­мет­ров. А. м. вклю­ча­ет в се­бя ва­риа­ци­он­ные прин­ци­пы ме­ха­ни­ки, вы­во­ди­мые из них осн. урав­не­ния дви­же­ния го­ло­ном­ных и не­го­ло­ном­ных сис­тем, ис­сле­до­ва­ние этих урав­не­ний, ка­но­ни­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния и ряд др. во­про­сов.

А. м. сло­жи­лась в са­мо­стоя­тель­ную на­уч. дис­ци­п­ли­ну в 18 в. В тру­дах Л. Эй­ле­ра, Ж. Д’Аламбера и Ж. Ла­гран­жа бы­ли раз­ра­бо­та­ны по­ня­тия свя­зей, обоб­щён­ных ко­ор­ди­нат, сте­пе­ней сво­бо­ды, сфор­му­ли­ро­ва­ны об­щие ва­риа­ци­он­ные прин­ци­пы ме­ха­ни­ки, по­лу­че­ны об­щие урав­не­ния дви­же­ния. Ин­тен­сив­ное раз­ви­тие А. м. про­ис­хо­ди­ло в 19 в. В ра­бо­тах К. Га­ус­са, У. Га­миль­то­на, К. Яко­би, М. В. Ост­ро­град­ско­го и др. бы­ли раз­ра­бо­та­ны но­вые ва­риа­ци­он­ные прин­ци­пы, ус­та­нов­ле­на ана­ло­гия ме­ж­ду не­ко­то­ры­ми за­да­ча­ми ме­ха­ни­ки и оп­ти­ки, вве­де­ны по­ня­тия обоб­щён­ных им­пуль­сов, не­го­ло­ном­ных сис­тем, ха­рак­те­ри­сти­че­ской Га­миль­то­на функ­ции, со­став­ле­ны ка­но­нич. урав­не­ния ме­ха­ни­ки, раз­ра­бо­та­ны об­щие ме­то­ды ин­тег­ри­ро­ва­ния диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний ме­ха­ни­ки, вве­де­ны ка­но­нич. пре­об­ра­зо­ва­ния. Но­вые идеи бы­ли прив­не­се­ны в А. м. в кон. 19 – нач. 20 вв. А. Пу­ан­ка­ре ввёл по­ня­тие ин­те­граль­ных ин­ва­ри­ан­тов и ис­поль­зо­вал его при изу­че­нии ус­той­чи­во­сти дви­же­ния ме­ха­нич. сис­тем. А. М. Ля­пу­нов ввёл стро­гое оп­ре­де­ле­ние ус­той­чи­во­сти дви­же­ния и раз­ра­бо­тал два ме­то­да её ис­сле­до­ва­ния. В 20 в. ак­тив­но раз­ви­ва­лась тео­рия ин­тегри­ро­ва­ния Га­миль­то­на урав­не­ний, в кон. 20 в. сфор­ми­ро­ва­лось но­вое на­прав­ле­ние А. м., свя­зан­ное с при­ме­не­ни­ем ме­то­дов совр. диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии и то­по­ло­гии.

Од­но из осн. по­ня­тий А. м. – воз­мож­ные (вир­ту­аль­ные) пе­ре­ме­ще­ния, оп­ре­де­ляе­мые на­ло­жен­ны­ми на ме­ха­нич. сис­те­му свя­зя­ми (см. Свя­зи ме­ха­ни­че­ские). При изу­че­нии дви­же­ния ме­ха­нич. сис­те­мы при­ме­ня­ет­ся ме­тод обоб­щён­ных ко­ор­ди­нат. Та­кое опи­са­ние дви­же­ния об­ла­да­ет боль­шой уни­вер­саль­но­стью и по­зво­ля­ет ре­шать слож­ные за­дачи, от­но­ся­щие­ся не толь­ко к чис­то ме­ха­ни­че­ским, но и к элек­трическим и элек­тро­ме­ха­ническим яв­ле­ни­ям.

Точ­ное ре­ше­ние урав­не­ний дви­же­ния ре­аль­ных ме­ха­нич. сис­тем воз­мож­но в ред­ких слу­ча­ях, напр. в не­ко­то­рых за­да­чах не­бес­ной ме­ха­ни­ки и ди­на­ми­ки твёр­до­го те­ла. Эти слу­чаи име­ют очень важ­ное зна­че­ние, т. к. час­то ис­поль­зу­ют­ся при при­бли­жён­ном ре­ше­нии бо­лее слож­ных ре­аль­ных за­дач с по­мо­щью воз­му­ще­ний тео­рии.

Ме­то­ды А. м. ока­за­лись при­ме­ни­мы не толь­ко к сис­те­мам с ко­неч­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды, но и к сис­те­мам с рас­пре­де­лён­ны­ми па­ра­мет­ра­ми, к сплош­ным сре­дам. Ме­то­ды А. м. рас­про­стра­ня­ют­ся на та­кие об­лас­ти тео­ре­тич. фи­зи­ки, как клас­сич. тео­рия по­ля, кван­то­вая ме­ха­ни­ка, тео­рия от­но­си­тель­но­сти и др.