ГЕОДЕЗИ́ЧЕСКАЯ ЛИ́НИЯ

ГЕОДЕЗИ́ЧЕСКАЯ ЛИ́НИЯ (гео­де­зи­че­ская), гео­мет­рич. по­ня­тие, обоб­щаю­щее по­ня­тие пря­мой (или от­рез­ка пря­мой) евк­ли­до­вой гео­мет­рии на слу­чай про­странств бо­лее об­ще­го ви­да. Так, Г. л. на по­верх­но­сти – ли­нии, дос­та­точ­но ма­лые ду­ги ко­то­рых яв­ля­ют­ся на этой по­верх­но­сти крат­чай­ши­ми пу­тя­ми ме­ж­ду кон­ца­ми этих дуг. На плос­ко­сти Г. л. суть пря­мые, на кру­го­вом ци­лин­д­ре – вин­то­вые ли­нии, на сфе­ре – боль­шие ок­руж­но­сти, т. е. ок­руж­но­сти, яв­ляю­щие­ся пе­ре­се­че­ния­ми сфе­ры с плос­ко­стя­ми, про­хо­дя­щи­ми че­рез её центр. Не вся­кая ду­га Г. л. яв­ля­ет­ся на по­верх­но­сти крат­чай­шим пу­тём. Напр., на сфе­ре ду­га боль­шой ок­руж­но­сти, бóльшая по­лу­ок­руж­но­сти, не бу­дет крат­чай­шей ме­ж­ду свои­ми кон­ца­ми. Т. к. оп­ре­де­ле­ние Г. л. свя­за­но толь­ко с из­ме­ре­ния­ми на по­верх­но­сти, они от­но­сят­ся к объ­ек­там внут­рен­ней гео­мет­рии по­верх­но­сти. Г. л. об­ла­да­ют тем свой­ст­вом, что их глав­ные нор­ма­ли яв­ля­ют­ся нор­ма­ля­ми к по­верх­но­сти. Г. л. впер­вые поя­ви­лись в ра­бо­тах Я. и И. Бер­нул­ли (1697–98) и Л. Эй­ле­ра (1728–32). Тер­мин «гео­де­зи­че­ская» вве­дён П. Ла­п­ла­сом (1798–99) при­ме­ни­тель­но к «крат­чай­шим ли­ни­ям» на зем­ной по­верх­но­сти. Г. л. на про­из­воль­ной по­верх­но­сти изу­чал Ж. Лиу­вилль (1844).

По­ня­тие «Г. л.» ши­ро­ко при­ме­ня­ет­ся при ре­ше­нии тео­ре­тич. и прак­тич. за­дач гео­де­зии, в ко­то­рых точ­ки зем­ной по­верх­но­сти про­еци­ру­ют­ся на по­верх­ность зем­но­го эл­лип­сои­да и со­еди­ня­ют­ся Г. л. На по­верх­но­сти зем­но­го эл­липсои­да Г. л. об­ла­да­ют кру­че­ни­ем и яв­ля­ют­ся слож­ны­ми кри­вы­ми. Ма­те­ма­тич. ме­то­ды по­зво­ля­ют пе­рей­ти от рас­стоя­ний и уг­лов на зем­ной по­верх­но­сти к дли­нам дуг Г. л. и уг­лам ме­ж­ду эти­ми ду­га­ми на по­верх­но­сти зем­но­го эл­лип­сои­да.