ГА́МИЛЬТОНА УРАВНЕ́НИЯ

ГА́МИЛЬТОНА УРАВНЕ́НИЯ (ка­но­ни­че­ские урав­не­ния ме­ха­ни­ки), диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния дви­же­ния го­ло­ном­ных ме­ха­нич. сис­тем, на­хо­дя­щих­ся под дей­ст­ви­ем по­тен­ци­аль­ных сил. Пред­ло­же­ны У. Га­миль­то­ном

в 1834.

Г. у. эк­ви­ва­лент­ны Ла­гран­жа урав­не­ни­ям

2-го ро­да, в ко­то­рых не­из­вест­ными яв­ля­ют­ся обоб­щён­ные ко­ор­ди­на­ты $q_i$ и обоб­щён­ные ско­ро­сти $q̇_i=dq_i/dt\ (t$ – вре­мя). Вме­сто пе­ре­мен­ных $q̇_i$ Га­миль­тон ввёл в рас­смот­ре­ние обоб­щён­ные им­пуль­сы

 >>

$p_i=𝜕L/𝜕q̇_i \ [i=1, …, n, L(t, q_i, q̇_i)$ – функ­ция Ла­гран­жа, $n$ – чис­ло сте­пе­ней сво­бо­ды сис­те­мы], а так­же функ­цию $H(t, q_i, p_i)$, на­зы­вае­мую Га­миль­то­на функ­ци­ей

 >>

.

Г. у. име­ют вид

$$\frac{dq_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \ \frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i} (i=1, \cdots, n).$$ Г. у. пред­став­ля­ют со­бой сис­те­му $2n$ обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний 1-го по­ряд­ка, ин­тег­ри­руя ко­то­рые, мож­но най­ти все не­из­вест­ные $q_i$ и $p_i$ как функ­ции вре­ме­ни $t$, а из на­чаль­ных ус­ло­вий – $2n$ по­сто­ян­ных ин­тег­ри­ро­ва­ния. Ре­ше­ние сис­те­мы Г. у. мож­но так­же све­сти к оты­ска­нию пол­но­го ин­те­гра­ла со­от­вет­ст­вую­ще­го ей урав­не­ния в ча­ст­ных про­из­вод­ных (Га­миль­то­на – Яко­би урав­не­ния

 >>

).

Ес­ли га­миль­то­ни­ан не за­ви­сит от вре­ме­ни ($𝜕H/𝜕t=0$), то Г. у. до­пус­ка­ют ин­те­грал $H=h=const$ (в клас­сич. ме­ха­ни­ке ему со­от­вет­ст­ву­ет ин­те­грал энер­гии). Ес­ли га­миль­то­ни­ан не за­ви­сит от к.-л. обоб­щён­ной ко­ор­ди­на­ты $q_s \ (𝜕H/𝜕q_s=0)$, то Г. у. до­пус­ка­ют ин­те­грал $p_s=c_s=const$ (ко­ор­ди­на­та $q_s$ на­зы­ва­ет­ся цик­ли­че­ской, а со­от­вет­ст­вую­щий ей ин­те­грал – цик­ли­че­ским ин­те­гра­лом).

Г. у. име­ют про­стую и сим­мет­рич­ную струк­ту­ру, они при­ме­ня­ют­ся при ис­сле­до­ва­нии тео­ре­тич. про­блем ана­ли­тич. ме­ха­ни­ки и клас­сич. ва­риа­ци­он­но­го ис­чис­ле­ния. Свой­ст­ва Г. у. ле­жат в ос­но­ве совр. тео­рии воз­му­ще­ний и ис­поль­зу­ют­ся в ста­ти­стич. фи­зи­ке, кван­то­вой ме­ха­ни­ке и др. об­лас­тях фи­зи­ки. Г. у. при­ме­ня­ют­ся так­же при ре­ше­нии за­дач тео­рии оп­ти­маль­но­го управ­ле­ния на ос­но­ве прин­ци­па мак­си­му­ма Пон­тря­ги­на.