ГА́МИЛЬТОНА УРАВНЕ́НИЯ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ГА́МИЛЬТОНА УРАВНЕ́НИЯ (канонические уравнения механики), дифференциальные уравнения движения голономных механич. систем, находящихся под действием потенциальных сил. Предложены У. Гамильтоном в 1834.
Г. у. эквивалентны Лагранжа уравнениям 2-го рода, в которых неизвестными являются обобщённые координаты $q_i$ и обобщённые скорости $q̇_i=dq_i/dt\ (t $ – время). Вместо переменных $q̇_i$ Гамильтон ввёл в рассмотрение обобщённые импульсы $p_i=𝜕L/𝜕q̇_i \ [i=1, …, n, L(t, q_i, q̇_i)$ – функция Лагранжа, $n$ – число степеней свободы системы], а также функцию $H(t, q_i, p_i)$, называемую Гамильтона функцией.
Г. у. имеют вид$$\frac{dq_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \ \frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i} (i=1, \cdots, n).$$Г. у. представляют собой систему $2n$ обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, интегрируя которые, можно найти все неизвестные $q_i $ и $p_i$ как функции времени $t$, а из начальных условий – $2n$ постоянных интегрирования. Решение системы Г. у. можно также свести к отысканию полного интеграла соответствующего ей уравнения в частных производных (Гамильтона – Якоби уравнения).
Если гамильтониан не зависит от времени ($𝜕H/𝜕t=0$), то Г. у. допускают интеграл $H=h=const$ (в классич. механике ему соответствует интеграл энергии). Если гамильтониан не зависит от к.-л. обобщённой координаты $q_s \ (𝜕H/𝜕q_s=0)$, то Г. у. допускают интеграл $p_s=c_s=const $ (координата $q_s$ называется циклической, а соответствующий ей интеграл – циклическим интегралом).
Г. у. имеют простую и симметричную структуру, они применяются при исследовании теоретич. проблем аналитич. механики и классич. вариационного исчисления. Свойства Г. у. лежат в основе совр. теории возмущений и используются в статистич. физике, квантовой механике и др. областях физики. Г. у. применяются также при решении задач теории оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина.