ГА́МИЛЬТОНА – ЯКО́БИ УРАВНЕ́НИЕ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ГА́МИЛЬТОНА – ЯКО́БИ УРАВНЕ́НИЕ, дифференциальное уравнение в частных производных 1-го порядка, к интегрированию которого сводится решение уравнений движения голономной консервативной механич. системы, представленных в форме Гамильтона уравнений. Г. – Я. у. имеет вид$$\frac{\partial S}{\partial t}+H \big(t,q_1, \cdots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1}, \cdots,\frac{\partial S}{\partial q_n}\big)=0,$$где $S$ – неизвестная функция времени $t $и обобщённых координат $q_1, ..., q_n$, называемая действием, $H=H(t, q_i, p_i)$ – Гамильтона функция, $p_1, ..., p_n$ – обобщённые импульсы, $n$ – число степеней свободы системы.
Согласно теореме Якоби, полный интеграл Г. – Я. у., т. е. решение $S(t, q_i, a_i)$ этого уравнения, зависящее от $n$ произвольных постоянных $a_1, ..., a_n$ и удовлетворяющее условию $det([\delta^2S]/[\delta q_i \delta a_i])$≠0, позволяет получить общее решение уравнений Гамильтона в виде$$q_i=q_i(t, a_j, b_j), p_i=p_i(t, a_j, b_j)$$из соотношений$$p_i=\frac{\partial S}{\partial q_i}, b_i=\frac{\partial S}{\partial a_i} (i=1, \cdots ,n), $$где $b_1, ..., b_n$ – произвольные постоянные.
Если функция Гамильтона $H$ не зависит от времени, то уравнения Гамильтона допускают интеграл энергии $H=h=a_1$ и функцию $S$ можно искать в виде $S=-ht+W$($q_i, a_2, ..., a_n$), где функция $W$ удовлетворяет уравнению$$H \big(q_1, \cdots , \frac{\partial W}{\partial q_1}, \cdots , \frac{\partial W}{\partial q_n}\big)=h.$$
Интегрирование Г. – Я. у. – удобный способ решения мн. задач геометрии и теоретич. физики, особенно механики, оптики и квантовой механики. Это уравнение нашло также применение в задачах оптимального управления.