Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ГА́МИЛЬТОНА – ЯКО́БИ УРАВНЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Физика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 6. Москва, 2006, стр. 358

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: А. В. Карапетян

ГА́МИЛЬТОНА – ЯКО́БИ УРАВНЕ́НИЕ, диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние в ча­ст­ных про­из­вод­ных 1-го по­ряд­ка, к ин­тег­ри­ро­ва­нию ко­то­ро­го сво­дит­ся ре­ше­ние урав­не­ний дви­же­ния го­ло­ном­ной кон­сер­ва­тив­ной ме­ха­нич. сис­те­мы, пред­став­лен­ных в фор­ме Га­миль­то­на урав­не­ний. Г. – Я. у. име­ет вид$$\frac{\partial S}{\partial t}+H \big(t,q_1, \cdots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1}, \cdots,\frac{\partial S}{\partial q_n}\big)=0,$$где $S$ – не­из­вест­ная функ­ция вре­ме­ни $t $и обоб­щён­ных ко­ор­ди­нат $q_1, ..., q_n$, на­зы­вае­мая дей­ст­ви­ем, $H=H(t, q_i, p_i)$ – Га­миль­то­на функ­ция, $p_1, ..., p_n$ – обоб­щён­ные им­пуль­сы, $n$  чис­ло сте­пе­ней сво­бо­ды сис­те­мы.

Со­глас­но тео­ре­ме Яко­би, пол­ный ин­те­грал Г. – Я. у., т. е. ре­ше­ние $S(t, q_i, a_i)$ это­го урав­не­ния, за­ви­ся­щее от $n$ про­из­воль­ных по­сто­ян­ных $a_1, ..., a_n$ и удов­ле­тво­ряю­щее ус­ло­вию $det([\delta^2S]/[\delta q_i \delta a_i])$0, по­зво­ля­ет по­лу­чить об­щее ре­ше­ние урав­не­ний Га­миль­то­на в ви­де$$q_i=q_i(t, a_j, b_j), p_i=p_i(t, a_j, b_j)$$из со­от­но­ше­ний$$p_i=\frac{\partial S}{\partial q_i}, b_i=\frac{\partial S}{\partial a_i} (i=1, \cdots ,n), $$где $b_1, ..., b_n$ – про­из­воль­ные по­сто­ян­ные.

Ес­ли функ­ция Га­миль­то­на $H$ не за­ви­сит от вре­ме­ни, то урав­не­ния Га­миль­то­на до­пус­ка­ют ин­те­грал энер­гии $H=h=a_1$ и функ­цию $S$ мож­но ис­кать в ви­де $S=-ht+W$($q_i, a_2, ..., a_n$), где функ­ция $W$ удов­ле­тво­ря­ет урав­не­нию$$H \big(q_1, \cdots , \frac{\partial W}{\partial q_1}, \cdots , \frac{\partial W}{\partial q_n}\big)=h.$$

Ин­тег­ри­ро­ва­ние Г. – Я. у. – удоб­ный спо­соб ре­ше­ния мн. за­дач гео­мет­рии и тео­ре­тич. фи­зи­ки, осо­бен­но ме­ха­ни­ки, оп­ти­ки и кван­то­вой ме­ха­ни­ки. Это урав­не­ние на­шло так­же при­ме­не­ние в за­да­чах оп­ти­маль­но­го управ­ле­ния.

Вернуться к началу