ГА́МИЛЬТОНА – ЯКО́БИ УРАВНЕ́НИЕ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ГА́МИЛЬТОНА – ЯКО́БИ УРАВНЕ́НИЕ, дифференциальное уравнение в частных производных 1-го порядка, к интегрированию которого сводится решение уравнений движения голономной консервативной механич. системы, представленных в форме Гамильтона уравнений. Г. – Я. у. имеет вид∂S∂t+H(t,q1,⋯,qn,∂S∂q1,⋯,∂S∂qn)=0,где S – неизвестная функция времени tи обобщённых координат q1,...,qn, называемая действием, H=H(t,qi,pi) – Гамильтона функция, p1,...,pn – обобщённые импульсы, n – число степеней свободы системы.
Согласно теореме Якоби, полный интеграл Г. – Я. у., т. е. решение S(t,qi,ai) этого уравнения, зависящее от n произвольных постоянных a1,...,an и удовлетворяющее условию det([δ2S]/[δqiδai])≠0, позволяет получить общее решение уравнений Гамильтона в видеqi=qi(t,aj,bj),pi=pi(t,aj,bj)из соотношенийpi=∂S∂qi,bi=∂S∂ai(i=1,⋯,n),где b1,...,bn – произвольные постоянные.
Если функция Гамильтона H не зависит от времени, то уравнения Гамильтона допускают интеграл энергии H=h=a1 и функцию S можно искать в виде S=−ht+W(qi,a2,...,an), где функция W удовлетворяет уравнениюH(q1,⋯,∂W∂q1,⋯,∂W∂qn)=h.
Интегрирование Г. – Я. у. – удобный способ решения мн. задач геометрии и теоретич. физики, особенно механики, оптики и квантовой механики. Это уравнение нашло также применение в задачах оптимального управления.