ГА́МИЛЬТОНА ФУ́НКЦИЯ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ГА́МИЛЬТОНА ФУ́НКЦИЯ, функция, введённая У. Гамильтоном для описания движений голономных механич. систем, находящихся под действием потенциальных сил, выраженная через обобщённые координаты и обобщённые импульсы. (В квантовой механике Г. ф. соответствует оператор Гамильтона – гамильтониан.)
Пусть $q_1, ..., q_n$ и $q̇_1, ..., q̇_n $– обобщённые координаты и обобщённые скорости голономной механич. системы с $n$ степенями свободы и $L=L(t, q_i, q̇_i)$ – функция Лагранжа ($t $– время). В классич. механике $L=T – П$, где $T$ – кинетическая и $П$ – потенциальная энергии соответственно. Обобщённые импульсы $p_i $вводятся при помощи соотношений $$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} (i=1, \cdots, n) \ \ \ \ \qquad (1)$$которые в классич. механике всегда разрешимы относительно обобщённых скоростей $\dot{q}_i=\dot{q}_i(t, q_k, p_k) \ (i, k=1, \cdots, n).$
Г. ф. определяется соотношением$$H(t, q_i, p_i)=\sum_{i=1}^n p_i\dot{q}_i-L,$$в правой части которого величины $q̇_i $выражены формулой (1).
Если функция $H$ не зависит явно от времени, то она сохраняет постоянное значение во всё время движения:$$H (q_i, p_i)=const \qquad (2)$$В частности, если связи, наложенные на систему, стационарны, то Г. ф. совпадает с полной механич. энергией системы $H=T+\Pi$, выраженной через $q_i, p_i$. В этом случае соотношение (2) представляет собой интеграл энергии.
Г. ф. $H$, как и функция Лагранжа $L$, полностью характеризует голономную консервативную механич. систему. При помощи Г. ф. уравнения движения системы могут быть записаны в виде системы $2n$ обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка (см. Гамильтона уравнения). Через Г. ф. записывается Гамильтона – Якоби уравнение. Г. ф. используется в задачах оптимального управления, а также обобщается на системы с бесконечным числом степеней свободы.