ГА́МИЛЬТОНА ФУ́НКЦИЯ

ГА́МИЛЬТОНА ФУ́НКЦИЯ, функ­ция, вве­дён­ная У. Га­миль­то­ном

для опи­са­ния дви­же­ний го­ло­ном­ных ме­ха­нич. сис­тем, на­хо­дя­щих­ся под дей­ст­ви­ем по­тен­ци­аль­ных сил, вы­ра­жен­ная че­рез обоб­щён­ные ко­ор­ди­на­ты и обоб­щён­ные им­пуль­сы. (В кван­то­вой ме­ха­ни­ке Г. ф. со­от­вет­ст­ву­ет опе­ра­тор Га­миль­то­на – га­миль­то­ни­ан

 >>

.)

Пусть $q_1, ..., q_n$ и $q̇_1, ..., q̇_n$– обоб­щён­ные ко­ор­ди­на­ты и обоб­щён­ные ско­ро­сти го­ло­ном­ной ме­ха­нич. сис­те­мы с $n$ сте­пе­ня­ми сво­бо­ды и $L=L(t, q_i, q̇_i)$ – функ­ция Ла­гран­жа ($t$– вре­мя). В клас­сич. ме­ха­ни­ке $L=T – П$, где $T$ – ки­не­ти­че­ская и $П$ – по­тен­ци­аль­ная энер­гии со­от­вет­ст­вен­но. Обоб­щён­ные им­пуль­сы $p_i$вво­дят­ся при по­мо­щи со­от­но­ше­ний  $$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} (i=1, \cdots, n) \ \ \ \ \qquad (1)$$ ко­то­рые в клас­сич. ме­ха­ни­ке все­гда раз­ре­ши­мы от­но­си­тель­но обоб­щён­ных ско­ро­стей $\dot{q}_i=\dot{q}_i(t, q_k, p_k) \ (i, k=1, \cdots, n).$

Г. ф. оп­ре­де­ля­ет­ся со­от­но­ше­ни­ем $$H(t, q_i, p_i)=\sum_{i=1}^n p_i\dot{q}_i-L,$$ в пра­вой час­ти ко­то­ро­го ве­ли­чи­ны $q̇_i$выражены фор­му­лой (1).

Ес­ли функ­ция $H$ не за­ви­сит яв­но от вре­ме­ни, то она со­хра­ня­ет по­сто­ян­ное зна­че­ние во всё вре­мя дви­же­ния: $$H (q_i, p_i)=const \qquad (2)$$ В ча­ст­но­сти, ес­ли свя­зи, на­ло­жен­ные на сис­те­му, ста­цио­нар­ны, то Г. ф. сов­па­дает с пол­ной ме­ха­нич. энер­ги­ей сис­те­мы $H=T+\Pi$, вы­ра­жен­ной че­рез $q_i, p_i$. В этом слу­чае со­от­но­ше­ние (2) пред­став­ля­ет со­бой ин­те­грал энер­гии.

Г. ф. $H$, как и функ­ция Ла­гран­жа $L$, пол­но­стью ха­рак­те­ри­зу­ет го­ло­ном­ную кон­сер­ва­тив­ную ме­ха­нич. сис­те­му. При по­мо­щи Г. ф. урав­не­ния дви­же­ния сис­те­мы мо­гут быть за­пи­са­ны в ви­де сис­те­мы $2n$ обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний 1-го по­ряд­ка (см. Га­миль­то­на урав­не­ния

). Че­рез Г. ф. за­пи­сы­ва­ет­ся Га­миль­то­на – Яко­би урав­не­ние

 >>

. Г. ф. ис­поль­зу­ет­ся в за­да­чах оп­ти­маль­но­го управ­ле­ния, а так­же обоб­ща­ет­ся на сис­те­мы с бес­ко­неч­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды.