ГАМИЛЬТОНИА́Н
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ГАМИЛЬТОНИА́Н (оператор Гамильтона) в квантовой теории, оператор полной энергии квантовой системы, играющий важную роль в описании её динамики. В классич. теории ему соответствует Гамильтона функция для полной энергии системы как функции её обобщённых координат и импульсов. В квантовой теории функция Гамильтона становится оператором, для построения которого в классич. выражении координаты и импульсы заменяют на соответствующие операторы. Последние не коммутируют между собой, поэтому порядок в их произведениях необходимо доопределить так, чтобы Г. был самосопряжённым оператором. Так, в классич. механике для точечной частицы в потенциальном поле функция Гамильтона есть сумма кинетич. энергии (функции импульса) и потенциальной энергии (функции координат). В координатном представлении квантовой механики операторы компонент импульса пропорциональны производным по координатам, поэтому оператор кинетич. энергии с точностью до коэффициента описывается оператором Лапласа, а оператор потенциальной энергии – оператором умножения на соответствующую функцию. Аналогичным образом строятся Г. и более сложных систем. В квантовой теории поля Г. строится на основании гамильтонова представления соответствующей классич. теории поля; в этом случае, как правило, используется фоковское представление, в котором осн. роль играют операторы рождения и уничтожения квантов поля. Если же система вообще не имеет классич. аналога, то построение Г. осуществляется аксиоматически, исходя из физич. смысла этой величины как полной энергии.
В квантовой механике изменение состояния системы во времени описывается волновой функцией, производная от которой по времени пропорциональна результату действия на неё оператора Г. (нестационарное Шрёдингера уравнение). Стационарные состояния системы, волновые функции которых являются собственными функциями этого оператора, удовлетворяют стационарному уравнению Шрёдингера. В стационарных состояниях вероятности наблюдаемых, характеризующих систему, не зависят от времени. Собственные значения Г., отвечающие собственным функциям, образуют спектр энергий, который может быть непрерывным или дискретным. Дискретный спектр энергий характерен для частиц, совершающих движение в конечной области пространства, напр. для электрона в атоме или частицы, совершающей колебания около положения равновесия (гармонич. осциллятор). Энергия свободной частицы или заряда, ускоряемого электрич. полем, может изменяться непрерывно.
Если система обладает симметриями (напр., частица в центр. поле), то операторы, осуществляющие преобразования симметрии, коммутируют с Г. (в данном случае это квадрат орбитального момента). Все операторы, коммутирующие с Г., являются интегралами движения, т. е. сохраняющимися величинами; это непосредственно следует из описания эволюции системы в представлении Гейзенберга, где производные по времени от наблюдаемых пропорциональны их коммутаторам с Г. При наличии нескольких операторов, коммутирующих с Г., но не коммутирующих между собой, спектр энергий оказывается вырожденным, т. е. одному собственному значению может соответствовать неск. разл. собственных векторов (см. Вырождение).