ШРЁДИНГЕРА УРАВНЕ́НИЕ

ШРЁДИНГЕРА УРАВНЕ́НИЕ, осн. урав­нение не­ре­ля­ти­ви­ст­ской кван­то­вой ме­ха­ни­ки. Пред­ло­же­но Э. Шрё­дин­ге­ром

в 1926 для опи­са­ния дви­же­ния мик­ро­час­тиц. Име­ет та­кое же зна­че­ние, как урав­не­ние дви­же­ния Нью­то­на в клас­сич. ме­ха­ни­ке и Мак­свел­ла урав­не­ния

 >>

в клас­сич. элек­тро­ди­на­ми­ке. Ш. у. опи­сы­ва­ет из­ме­не­ние во вре­ме­ни $t$ со­стоя­ния кван­то­во­го объ­ек­та (сис­те­мы), ха­рак­те­ри­зуе­мо­го вол­но­вой функ­ци­ей $ψ$. В об­щем слу­чае Ш. у. име­ет вид: $$i\hbar\frac{∂ψ}{∂t}=\hat H ψ,$$ где $\hat H$ – га­миль­то­ни­ан сис­те­мы, $\hbar$ – по­сто­ян­ная План­ка. Для час­ти­цы мас­сы $m$, дви­жу­щей­ся под дей­ст­ви­ем си­лы, по­ро­ж­дае­мой по­тен­циа­лом $V$($x$, $y$, $z$, $t$), Ш. у. за­пи­сы­ва­ет­ся в ви­де: $$i\hbar\frac{∂ψ}{∂t}=-\frac{\hbar^2}{2m}Δψ+V(x,y,z,t)ψ,$$ где $Δ=∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2$ – опе­ра­тор Ла­п­ла­са, $x$, $y$, $z$ – де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты. Это урав­не­ние на­зы­ва­ет­ся вре­мен­ны́м Ш. у. Ес­ли $V$ не за­ви­сит от вре­ме­ни, то вол­но­вая функ­ция удов­ле­тво­ря­ет ста­цио­нар­но­му Ш. у. Для кван­то­вых сис­тем, дви­же­ние ко­то­рых про­ис­хо­дит в ог­ра­ни­чен­ной об­лас­ти про­стран­ст­ва, Ш. у. су­ще­ст­ву­ет толь­ко для не­ко­то­рых дис­крет­ных зна­че­ний энер­гии и ка­ж­до­му зна­че­нию энер­гии $ℰ_n$ со­от­вет­ст­ву­ет своя вол­но­вая функ­ция $ψ_n$.

Ш. у. ма­те­ма­ти­че­ски вы­ра­жа­ет фун­дам. свой­ст­во час­тиц – кор­пус­ку­ляр­но- вол­но­вой дуа­лизм, со­глас­но ко­то­ро­му все су­ще­ст­вую­щие час­ти­цы ма­те­рии об­ла­да­ют и вол­но­вы­ми свой­ст­ва­ми. Ш. у. удов­ле­тво­ря­ет со­от­вет­ст­вия прин­ци­пу

и в пре­дель­ном слу­чае, ко­гда дли­на вол­ны де Брой­ля зна­чи­тель­но мень­ше раз­ме­ров, ха­рак­тер­ных для рас­смат­ри­вае­мо­го дви­же­ния, по­зво­ля­ет опи­сать дви­же­ние час­тиц по за­ко­нам клас­сич. ме­ха­ни­ки – по тра­ек­то­ри­ям.

С ма­те­ма­тич. точ­ки зре­ния Ш. у. есть вол­но­вое урав­не­ние, по­доб­ное урав­не­нию, опи­сы­ваю­ще­му ко­ле­ба­ния стру­ны, но ре­ше­ния $ψ(x,y,z,t)$ Ш. у. пря­мо­го фи­зич. смыс­ла не име­ют. Фи­зич. смысл име­ет квад­рат вол­но­вой функ­ции $|y_n(x,y,z,t)|^2=ρ_n(x,y,z,t)$ – ве­ро­ят­ность на­хо­ж­де­ния час­ти­цы (сис­те­мы) в мо­мент вре­ме­ни $t$ в точ­ке с ко­ор­ди­на­та­ми $x$, $y$, $z$. Эта ве­ро­ят­но­ст­ная ин­тер­пре­та­ция вол­но­вой функ­ции – один из по­сту­ла­тов кван­то­вой ме­ха­ни­ки.