МА́КСВЕЛЛА УРАВНЕ́НИЯ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МА́КСВЕЛЛА УРАВНЕ́НИЯ, основополагающие уравнения классич. макроскопич. электродинамики, описывающие закономерности электромагнитных явлений в сплошной среде или вакууме (в пренебрежении квантовыми явлениями). Теория электромагнитного поля была разработана Дж. К. Максвеллом в 1856–73. В М. у. обобщены ранее установленные опытные законы электрич. и магнитных явлений, и эти законы объединены с концепцией М. Фарадея об электромагнитном поле, обеспечивающем взаимодействие между удалёнными заряженными телами (т. н. теория близкодействия). В оригинальном изложении Максвелла было сознательно приведено избыточное число уравнений; при этом Максвелл использовал математич. аппарат кватернионов Гамильтона. Совр. форму М. у. с использованием векторного исчисления придали Г. Р. Герц и О. Хевисайд. М. у. связывают векторные полевые величины (являющиеся функциями координат и времени) с источниками электромагнитного поля – распределёнными в пространстве и изменяющимися во времени электрич. зарядами и токами. М. у. имеют вид (дифференциальная форма М. у. в СИ): $$\textrm{rot}\,\boldsymbol E=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t},\quad \textrm{rot}\,\boldsymbol H=\boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t},\\ \textrm{div}\,\boldsymbol D=ρ,\quad \textrm{div}\,\boldsymbol B=0,$$ где $\boldsymbol E$ – напряжённость электрич. поля, $\boldsymbol B$ – магнитная индукция, $\boldsymbol H$ – напряжённость магнитного поля, $\boldsymbol D$ – электрич. индукция, $\boldsymbol j$ – плотность электрич. тока, $ρ$ – объёмная плотность электрич. заряда. Действие дифференциальных операторов $\textrm{rot}$ и $\textrm{div}$ на векторы электромагнитного поля может быть выражено через векторное и скалярное произведения оператора Гамильтона $\nabla$ (набла) и соответствующего полевого вектора; в декартовой системе координат$$\nabla=\boldsymbol e_x\frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol e_y\frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol e_z\frac{\partial}{\partial z}$$(где $\boldsymbol e_x, \boldsymbol e_y, \boldsymbol e_z$ – единичные векторы соответствующих координатных осей), и для произвольной векторной функции $\boldsymbol f=\boldsymbol e_xf_x+\boldsymbol e_yf_y+\boldsymbol e_zf_z$ получаем:$$\textrm{rot}\,\boldsymbol f=[\nabla \boldsymbol f]=\boldsymbol e_x \left( \frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z} \right) + \boldsymbol e_y \left( \frac{\partial f_x}{\partial z}-\frac{\partial f_z}{\partial x} \right) + \boldsymbol e_z \left( \frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y} \right),\\ \textrm{div}\,\boldsymbol f=\nabla \boldsymbol f=\frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z}.$$
Для того чтобы М. у. образовали математически полную систему уравнений, они должны быть дополнены физич. уравнениями связи между полевыми векторами $\boldsymbol E$ и $\boldsymbol B$ (достаточными для описания электромагнитного поля в вакууме) и полевыми векторами $\boldsymbol D$ и $\boldsymbol H$, зависящими от электрич. и магнитных свойств материальной среды, где рассматривается электромагнитное поле, а также уравнениями связи плотности тока $\boldsymbol j$, протекающего в материальной среде, с электромагнитным полем. В общем случае эти уравнения являются сложными интегральными соотношениями, учитывающими, что искомые полевые векторы в данной точке пространства и в данный момент времени могут зависеть от электромагнитного поля во всём пространстве и во все предшествующие моменты времени с учётом запаздывания, вызванного конечной скоростью распространения электрич. и магнитного взаимодействий (пространственная и временна́я дисперсии). В макроскопич. электродинамике материальные уравнения (уравнения связи) в виде $\boldsymbol D=\boldsymbol D(\boldsymbol E,\boldsymbol H),\,\boldsymbol B=\boldsymbol B(\boldsymbol E,\boldsymbol H)$ и $\boldsymbol j=\boldsymbol j(\boldsymbol E,\boldsymbol H)$ определяются экспериментально или выводятся на основе выбранных модельных представлений и записываются в виде (наиболее распространённая форма): $$\boldsymbol D=ε_0ε\boldsymbol E,\,\boldsymbol B=μ_0μ\boldsymbol H,\,\boldsymbol j=σ\boldsymbol E+\boldsymbol j_{стор},$$где $ε_0=1/μ_0c^2$ – электрич. постоянная, $μ_0=4π·10^{–7}$ Гн/м – магнитная постоянная, $c$ – скорость распространения электромагнитных волн (скорость света) в вакууме, $ε$ – диэлектрич. проницаемость, $μ$ – магнитная проницаемость, $σ$ – электропроводность материальной среды, $\boldsymbol j_{стор}$ – плотность электрич. тока (потока заряженных частиц), вызванного неэлектрическими (сторонними) причинами. Материальные коэффициенты $ε$, $μ$ и $σ$ различаются для разных материальных сред и для конкретной среды могут быть константами или функциями координат и времени (линейные среды) или же дополнительно зависеть от величин напряжённостей $\boldsymbol E$ и $\boldsymbol H$ (нелинейные среды). Для изотропных сред материальные коэффициенты являются скалярами, для анизотропных (напр., кристаллических) – тензорными величинами; для электромагнитного поля в вакууме $ε=μ=1, σ=0$. Микроскопич. смысл материальных коэффициентов и полевых векторов $\boldsymbol D$ и $\boldsymbol H$, учитывающих электромагнитные свойства конкретной материальной среды, выявляется при усреднении Лоренца – Максвелла уравнений, рассматривающих материальные среды как совокупность микроскопич. заряженных частиц.
Применяя теорему Грина и формулу Гаусса – Остроградского к М. у. в дифференциальной форме, можно получить М. у. в интегральной форме:$$\oint\limits_L \boldsymbol E d \boldsymbol l =-\frac{d}{dt}\int\limits_S \boldsymbol Bd\boldsymbol S,\qquad (1)\\ \oint\limits_L \boldsymbol Hd\boldsymbol l=\int\limits_S \left( \boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{dt}\right)d\boldsymbol S,\qquad(2)\\ \oint\limits_S \boldsymbol D d \boldsymbol S=\int\limits_V ρdV,\qquad(3)\\ \oint\limits_S \boldsymbol B d \boldsymbol S=0\qquad(4)$$ В уравнениях (1) и (2) $S$ – поверхность произвольной формы, ограниченная замкнутым контуром $L, d\boldsymbol l$ – вектор элементарной части контура, направленный по направлению его обхода в процессе интегрирования, $d\boldsymbol S$ – вектор элементарной площадки поверхности $S$, численно равный площади площадки и направленный перпендикулярно поверхности в направлении, согласованном с направлением обхода по правилу винта. В уравнениях (3) и (4) $S$ – замкнутая поверхность, охватывающая объём $V, d\boldsymbol S$ – вектор элементарной площадки, направленный перпендикулярно поверхности наружу от охватываемого объёма.
М. у. в интегральной форме имеют непосредственный физич. смысл, переносимый и на соответствующие М. у. в дифференциальной форме. Уравнение (1) обобщает закон электромагнитной индукции Фарадея, связывающий скорость изменения магнитного потока (потока вектора магнитной индукции $\boldsymbol B$), сцепленного с некоторым контуром, с эдс индукции, наведённой в этом контуре. В отличие от опытов М. Фарадея, где контур представлял собой металлич. проводник, по которому протекал регистрируемый индукционный ток, Максвелл сформулировал утверждение, что эдс индукции будет также возникать и при изменении магнитного потока в вакууме или иной непроводящей среде. Т. о., согласно уравнению (1), изменение магнитного поля во времени вызывает возникновение электрич. поля (также изменяющегося во времени).
Уравнение (2) является обобщением Био – Савара закона о возбуждении магнитного поля электрич. током. Анализируя прохождение переменного тока по цепи с конденсатором, Максвелл предположил, что для замкнутости электрич. тока, кроме тока проводимости, обусловленного движением зарядов по проводнику, должен существовать дополнит. ток (названный им током смещения), плотность которого равна $𝜕\boldsymbol D/𝜕t$ и который также должен создавать магнитное поле. Эквивалентность магнитного действия тока проводимости и тока смещения была установлена экспериментально А. А. Эйхенвальдом в 1904 (см. Эйхенвальда опыт). Т. о., согласно уравнению (2), магнитное поле возникает не только в случае протекания электрич. тока, но и при изменении электрич. поля во времени; при этом возникающее магнитное поле также изменяется во времени.
Уравнение (3) (Гаусса теорема) выводится с помощью Кулона закона (справедливого только для неподвижных зарядов) и является его обобщением. Физич. смысл уравнения (3) – источником электрич. поля являются электрич. заряды [наряду с переменным магнитным полем, см. уравнение (1)]. Уравнение (4) аналогично уравнению (3) и является математич. выражением экспериментально обосновываемого утверждения, что источником магнитного поля могут быть только электрич. токи (проводимости и смещения), а магнитные заряды (аналогичные электрич. зарядам – источникам полей в теореме Гаусса) в природе отсутствуют. Предсказания некоторых физич. теорий о существовании отд. магнитных зарядов (магнитных монополей) пока не получили эксперим. подтверждения.
Как следует из физич. смысла уравнений (1) и (2), переменное магнитное поле вызывает возникновение переменного электрич. поля, а переменное электрич. поле – возникновение переменного магнитного поля и, т. о., переменные электрич. и магнитные поля могут поддерживать друг друга, образуя самостоятельный физич. объект – электромагнитную волну, существующую уже независимо от первичных источников электрич. и магнитного полей. Дж. К. Максвелл впервые получил из М. у. волновое уравнение для электромагнитной волны и установил, что электромагнитная волна распространяется в вакууме со скоростью, которая совпадает по величине с электродинамич. постоянной, входящей в использованную Максвеллом абсолютную гауссову систему единиц. В. Э. Вебер и нем. физик Р. Кольрауш в 1856 установили, что электродинамич. постоянная равна скорости света в вакууме; это позволило Максвеллу предположить, что свет представляет собой электромагнитные волны. Это предположение нашло своё подтверждение в дальнейшем развитии учения о свете.
С помощью М. у. было установлено, что электромагнитное поле обладает энергией и импульсом. Наличие импульса у электромагнитной волны и, следовательно, его изменение при поглощении или отражении приводит к возникновению давления электромагнитной волны на поглощающую или отражающую поверхность. Теоретически предсказанное и количественно рассчитанное Дж. К. Максвеллом давление света впервые было экспериментально обнаружено и измерено П. Н. Лебедевым в 1899. Результаты экспериментов Лебедева, как и последующие эксперим. исследования светового давления, полностью подтвердили гипотезу Максвелла об электромагнитном характере световых волн.
Осн. характеристикой, описывающей процесс распространения энергии и импульса электромагнитного поля в пространстве, является Пойнтинга вектор $\it {\mathbf Π}=[\boldsymbol E \boldsymbol H]$, направление которого совпадает с направлением импульса электромагнитного поля и направлением распространения его энергии, а величина равна плотности потока мощности электромагнитного поля – энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную вектору $\bf Π$ (или направлению распространения энергии).
Электродинамика Максвелла оказалась исторически первой релятивистской теорией. Именно анализ М. у. и исследование методов их применения к движущимся средам привели к необходимости перестройки классич. физич. представлений о пространстве и времени и созданию частной (специальной) теории относительности. Релятивистский характер М. у. позволяет записать их в релятивистски ковариантной (одинаковой во всех инерциальных системах отсчёта) тензорной форме, откуда могут быть получены формулы преобразования полевых векторов $\boldsymbol E, \boldsymbol B, \boldsymbol D$ и $\boldsymbol H$, а также $\boldsymbol j$ и $ρ$ при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой.
М. у. послужили теоретич. основой для создания и развития техники радиосвязи и телевидения, электротехники, электроники и др. направлений совр. науки и техники.