МА́КСВЕЛЛА УРАВНЕ́НИЯ

МА́КСВЕЛЛА УРАВНЕ́НИЯ, ос­но­во­по­ла­гаю­щие урав­не­ния клас­сич. мак­ро­ско­пич. элек­тро­ди­на­ми­ки, опи­сы­ваю­щие за­ко­но­мер­но­сти элек­тро­маг­нит­ных яв­ле­ний в сплош­ной сре­де или ва­куу­ме (в пре­неб­ре­же­нии кван­то­вы­ми яв­ле­ния­ми). Тео­рия элек­тро­маг­нит­но­го поля бы­ла раз­ра­бо­та­на Дж. К. Мак­свел­лом

в 1856–73. В М. у. обоб­ще­ны ра­нее ус­та­нов­лен­ные опыт­ные за­ко­ны элек­трич. и маг­нит­ных яв­ле­ний, и эти за­ко­ны объ­е­ди­не­ны с кон­цеп­ци­ей М. Фа­ра­дея

 >>

об элек­тро­маг­нит­ном по­ле, обес­пе­чи­ваю­щем взаи­мо­дей­ст­вие ме­ж­ду уда­лён­ны­ми за­ря­жен­ны­ми те­ла­ми (т. н. тео­рия близ­ко­дей­ст­вия). В ори­ги­наль­ном из­ло­же­нии Мак­свел­ла бы­ло соз­на­тель­но при­ве­де­но из­бы­точ­ное чис­ло урав­не­ний; при этом Мак­свелл ис­поль­зо­вал ма­те­ма­тич. ап­па­рат ква­тер­нио­нов Га­миль­то­на. Совр. фор­му М. у. с ис­поль­зо­ва­ни­ем век­тор­но­го ис­чис­ле­ния при­да­ли Г. Р. Герц

 >>

и О. Хе­ви­сайд

 >>

. М. у. свя­зы­ва­ют век­тор­ные по­ле­вые ве­ли­чи­ны (яв­ляю­щие­ся функ­ция­ми ко­ор­ди­нат и вре­ме­ни) с ис­точ­ни­ка­ми элек­тро­маг­нит­но­го по­ля – рас­пре­де­лён­ны­ми в про­стран­ст­ве и из­ме­няю­щи­ми­ся во вре­ме­ни элек­трич. за­ря­да­ми и то­ка­ми. М. у. име­ют вид (диф­фе­рен­ци­аль­ная фор­ма М. у. в СИ): $$\textrm{rot}\,\boldsymbol E=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t},\quad \textrm{rot}\,\boldsymbol H=\boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t},\\ \textrm{div}\,\boldsymbol D=ρ,\quad \textrm{div}\,\boldsymbol B=0,$$ где $\boldsymbol E$ – на­пря­жён­ность элек­трич. по­ля, $\boldsymbol B$ – маг­нит­ная ин­дук­ция, $\boldsymbol H$ – на­пря­жён­ность маг­нит­но­го по­ля, $\boldsymbol D$ – элек­трич. ин­дук­ция, $\boldsymbol j$ – плот­ность элек­трич. то­ка, $ρ$  – объ­ём­ная плот­ность элек­трич. за­ря­да. Дей­ст­вие диф­фе­рен­ци­аль­ных опе­ра­то­ров $\textrm{rot}$ и $\textrm{div}$ на век­то­ры элек­тро­маг­нит­но­го по­ля мо­жет быть вы­ра­же­но че­рез век­тор­ное и ска­ляр­ное про­из­ве­де­ния опе­ра­то­ра Га­миль­то­на $\nabla$ (на­бла) и со­от­вет­ст­вую­ще­го по­ле­во­го век­то­ра; в де­кар­то­вой сис­те­ме ко­ор­ди­нат $$\nabla=\boldsymbol e_x\frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol e_y\frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol e_z\frac{\partial}{\partial z}$$ (где $\boldsymbol e_x, \boldsymbol e_y, \boldsymbol e_z$ – еди­нич­ные век­то­ры соот­вет­ст­вую­щих ко­ор­ди­нат­ных осей), и для про­из­воль­ной век­тор­ной функ­ции $\boldsymbol f=\boldsymbol e_xf_x+\boldsymbol e_yf_y+\boldsymbol e_zf_z$ по­лу­ча­ем: $$\textrm{rot}\,\boldsymbol f=[\nabla \boldsymbol f]=\boldsymbol e_x \left( \frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z} \right) + \boldsymbol e_y \left( \frac{\partial f_x}{\partial z}-\frac{\partial f_z}{\partial x} \right) + \boldsymbol e_z \left( \frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y} \right),\\ \textrm{div}\,\boldsymbol f=\nabla \boldsymbol f=\frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z}.$$

Для то­го что­бы М. у. об­ра­зо­ва­ли ма­те­ма­ти­че­ски пол­ную сис­те­му урав­не­ний, они долж­ны быть до­пол­не­ны фи­зич. урав­не­ния­ми свя­зи ме­ж­ду по­ле­вы­ми век­то­ра­ми $\boldsymbol E$ и $\boldsymbol B$ (дос­та­точ­ны­ми для опи­са­ния элек­тро­маг­нит­но­го по­ля в ва­куу­ме) и по­ле­вы­ми век­то­ра­ми $\boldsymbol D$ и $\boldsymbol H$, за­ви­ся­щи­ми от элек­трич. и маг­нит­ных свойств ма­те­ри­аль­ной сре­ды, где рас­смат­ри­ва­ет­ся элек­тро­маг­нит­ное по­ле, а так­же урав­не­ния­ми свя­зи плот­но­сти то­ка $\boldsymbol j$, про­те­каю­ще­го в ма­те­ри­аль­ной сре­де, с элек­тро­маг­нит­ным по­лем. В об­щем слу­чае эти урав­не­ния яв­ля­ют­ся слож­ны­ми ин­те­граль­ны­ми со­от­но­ше­ния­ми, учи­ты­ваю­щи­ми, что ис­ко­мые по­ле­вые век­то­ры в дан­ной точ­ке про­стран­ст­ва и в дан­ный мо­мент вре­ме­ни мо­гут за­ви­сеть от элек­тро­маг­нит­но­го по­ля во всём про­стран­ст­ве и во все пред­ше­ст­вую­щие мо­мен­ты вре­ме­ни с учё­том за­паз­ды­ва­ния, вы­зван­но­го ко­неч­ной ско­ро­стью рас­про­стра­не­ния элек­трич. и маг­нит­но­го взаи­мо­дей­ст­вий (про­стран­ст­вен­ная и вре­мен­на́я дис­пер­сии). В мак­ро­ско­пич. элек­тро­ди­на­ми­ке ма­те­ри­аль­ные урав­не­ния (урав­не­ния свя­зи) в ви­де $\boldsymbol D=\boldsymbol D(\boldsymbol E,\boldsymbol H),\,\boldsymbol B=\boldsymbol B(\boldsymbol E,\boldsymbol H)$ и $\boldsymbol j=\boldsymbol j(\boldsymbol E,\boldsymbol H)$ оп­ре­де­ля­ют­ся экс­пе­ри­мен­таль­но или вы­во­дят­ся на ос­но­ве вы­бран­ных мо­дель­ных пред­став­ле­ний и за­пи­сы­ва­ют­ся в ви­де (наи­бо­лее рас­про­стра­нён­ная фор­ма): $$\boldsymbol D=ε_0ε\boldsymbol E,\,\boldsymbol B=μ_0μ\boldsymbol H,\,\boldsymbol j=σ\boldsymbol E+\boldsymbol j_{стор},$$ где $ε_0=1/μ_0c^2$ – элек­трич. по­сто­ян­ная, $μ_0=4π·10^{–7}$ Гн/м – маг­нит­ная по­сто­ян­ная, $c$ – ско­рость рас­про­стра­не­ния элек­тро­маг­нит­ных волн (ско­рость све­та) в ва­куу­ме, $ε$ – ди­элек­трич. про­ни­цае­мость, $μ$ – маг­нит­ная про­ни­цае­мость, $σ$ – элек­тро­про­вод­ность ма­те­ри­аль­ной сре­ды, $\boldsymbol j_{стор}$ – плот­ность элек­трич. то­ка (по­то­ка за­ря­жен­ных час­тиц), вы­зван­но­го не­элек­три­чес­ки­ми (сто­рон­ни­ми) при­чи­на­ми. Ма­те­ри­аль­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты $ε$, $μ$ и $σ$ раз­ли­ча­ют­ся для раз­ных ма­те­ри­аль­ных сред и для кон­крет­ной сре­ды мо­гут быть кон­стан­та­ми или функ­ция­ми ко­ор­ди­нат и вре­ме­ни (ли­ней­ные сре­ды) или же до­пол­ни­тель­но за­ви­сеть от ве­ли­чин на­пря­жён­но­стей $\boldsymbol E$ и $\boldsymbol H$ (не­ли­ней­ные сре­ды). Для изо­троп­ных сред ма­те­ри­аль­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты яв­ля­ют­ся ска­ля­ра­ми, для ани­зо­троп­ных (напр., кри­стал­ли­че­ских) – тен­зор­ны­ми ве­ли­чи­на­ми; для элек­тро­маг­нит­но­го по­ля в ва­куу­ме $ε=μ=1, σ=0$. Мик­ро­ско­пич. смысл ма­те­ри­аль­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов и по­ле­вых век­то­ров $\boldsymbol D$ и $\boldsymbol H$, учи­ты­ваю­щих элек­тро­маг­нит­ные свой­ст­ва кон­крет­ной ма­те­ри­аль­ной сре­ды, вы­яв­ля­ет­ся при ус­ред­не­нии Ло­рен­ца – Мак­свел­ла урав­не­ний

, рас­смат­ри­ва­ю­щих ма­те­ри­аль­ные сре­ды как со­во­куп­ность мик­ро­ско­пич. за­ря­жен­ных час­тиц.

При­ме­няя тео­ре­му Гри­на и фор­му­лу Га­ус­са – Ост­ро­град­ско­го к М. у. в диф­фе­рен­ци­аль­ной фор­ме, мож­но по­лу­чить М. у. в ин­те­граль­ной фор­ме: $$\oint\limits_L \boldsymbol E d \boldsymbol l =-\frac{d}{dt}\int\limits_S \boldsymbol Bd\boldsymbol S,\qquad (1)\\ \oint\limits_L \boldsymbol Hd\boldsymbol l=\int\limits_S \left( \boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{dt}\right)d\boldsymbol S,\qquad(2)\\ \oint\limits_S \boldsymbol D d \boldsymbol S=\int\limits_V ρdV,\qquad(3)\\ \oint\limits_S \boldsymbol B d \boldsymbol S=0\qquad(4)$$ В урав­не­ни­ях (1) и (2) $S$ – по­верх­ность про­из­воль­ной фор­мы, ог­ра­ни­чен­ная замк­ну­тым кон­ту­ром $L, d\boldsymbol l$ – век­тор эле­мен­тар­ной час­ти кон­ту­ра, на­прав­лен­ный по на­прав­ле­нию его об­хо­да в про­цес­се ин­тег­ри­ро­ва­ния, $d\boldsymbol S$ – век­тор эле­мен­тар­ной пло­щад­ки по­верх­но­сти $S$, чис­лен­но рав­ный пло­ща­ди пло­щад­ки и на­прав­лен­ный пер­пен­ди­ку­ляр­но по­верх­но­сти в на­прав­ле­нии, со­гла­со­ван­ном с на­прав­ле­ни­ем об­хо­да по пра­ви­лу вин­та. В урав­не­ни­ях (3) и (4) $S$ – замк­ну­тая по­верх­ность, ох­ва­ты­ваю­щая объ­ём $V, d\boldsymbol S$ – век­тор эле­мен­тар­ной пло­щад­ки, на­прав­лен­ный пер­пен­ди­ку­ляр­но по­верх­но­сти на­ру­жу от ох­ва­ты­вае­мо­го объ­ё­ма.

М. у. в ин­те­граль­ной фор­ме име­ют не­по­сред­ст­вен­ный фи­зич. смысл, пе­ре­но­си­мый и на со­от­вет­ст­вую­щие М. у. в диф­фе­рен­ци­аль­ной фор­ме. Урав­не­ние (1) обоб­ща­ет за­кон элек­тро­маг­нит­ной ин­дук­ции Фа­ра­дея, свя­зы­ваю­щий ско­рость из­ме­не­ния маг­нит­но­го по­то­ка (по­то­ка век­то­ра маг­нит­ной ин­дук­ции $\boldsymbol B$), сце­п­лен­но­го с не­ко­то­рым кон­ту­ром, с эдс ин­дук­ции, на­ве­дён­ной в этом кон­ту­ре. В от­ли­чие от опы­тов М. Фа­ра­дея, где кон­тур пред­став­лял со­бой ме­тал­лич. про­вод­ник, по ко­то­ро­му про­те­кал ре­ги­ст­ри­руе­мый ин­дук­ци­он­ный ток, Мак­свелл сфор­му­ли­ро­вал ут­вер­жде­ние, что эдс ин­дук­ции бу­дет так­же воз­ни­кать и при из­ме­не­нии маг­нит­но­го по­то­ка в ва­куу­ме или иной не­про­во­дя­щей сре­де. Т. о., со­глас­но урав­не­нию (1), из­ме­не­ние маг­нит­но­го по­ля во вре­ме­ни вы­зы­ва­ет воз­ник­но­ве­ние элек­трич. по­ля (так­же из­ме­няю­ще­го­ся во вре­ме­ни).

Урав­не­ние (2) яв­ля­ет­ся обоб­ще­ни­ем Био – Са­ва­ра за­ко­на

о воз­бу­ж­де­нии маг­нит­но­го по­ля элек­трич. то­ком. Ана­ли­зи­руя про­хо­ж­де­ние пе­ре­мен­но­го то­ка по це­пи с кон­ден­са­то­ром, Мак­свелл пред­по­ло­жил, что для замк­ну­то­сти элек­трич. то­ка, кро­ме то­ка про­во­ди­мо­сти, обу­слов­лен­но­го дви­же­ни­ем за­ря­дов по про­вод­ни­ку, дол­жен су­ще­ст­во­вать до­пол­нит. ток (на­зван­ный им то­ком сме­ще­ния

 >>

), плот­ность ко­то­ро­го рав­на $𝜕\boldsymbol D/𝜕t$ и ко­то­рый так­же дол­жен соз­да­вать маг­нит­ное по­ле. Эк­ви­ва­лент­ность маг­нит­но­го дей­ст­вия то­ка про­во­ди­мо­сти и то­ка сме­ще­ния бы­ла ус­та­нов­ле­на экс­пе­римен­таль­но А. А. Эй­хен­валь­дом в 1904 (см. Эй­хен­валь­да опыт

 >>

). Т. о., со­глас­но урав­не­нию (2), маг­нит­ное по­ле воз­ни­ка­ет не толь­ко в слу­чае про­те­ка­ния элек­трич. то­ка, но и при из­ме­не­нии элек­трич. по­ля во вре­ме­ни; при этом воз­ни­каю­щее маг­нит­ное по­ле так­же из­ме­ня­ет­ся во вре­ме­ни.

Урав­не­ние (3) (Га­ус­са тео­ре­ма

) вы­во­дит­ся с по­мо­щью Ку­ло­на за­ко­на

 >>

(спра­вед­ли­во­го толь­ко для не­под­виж­ных за­ря­дов) и яв­ля­ет­ся его обоб­ще­ни­ем. Фи­зич. смысл урав­не­ния (3) – ис­точ­ни­ком элек­трич. по­ля яв­ля­ют­ся элек­трич. за­ря­ды [на­ря­ду с пе­ре­менным маг­нит­ным по­лем, см. урав­нение (1)]. Урав­не­ние (4) ана­ло­гич­но урав­не­нию (3) и яв­ля­ет­ся ма­те­ма­тич. вы­ра­же­ни­ем экс­пе­ри­мен­таль­но обос­но­вы­вае­мо­го ут­вер­жде­ния, что ис­точ­ни­ком маг­нит­но­го по­ля мо­гут быть толь­ко элек­трич. то­ки (про­во­ди­мо­сти и сме­ще­ния), а маг­нит­ные за­ря­ды (ана­ло­гич­ные элек­трич. за­ря­дам – ис­точ­ни­кам по­лей в тео­ре­ме Га­ус­са) в при­ро­де от­сут­ст­ву­ют. Пред­ска­за­ния не­ко­то­рых фи­зич. тео­рий о су­ще­ст­во­ва­нии отд. маг­нит­ных за­ря­дов (маг­нит­ных мо­но­по­лей

 >>

) по­ка не по­лу­чи­ли экс­пе­рим. под­твер­ж­де­ния.

Как сле­ду­ет из фи­зич. смыс­ла урав­не­ний (1) и (2), пе­ре­мен­ное маг­нит­ное по­ле вы­зы­ва­ет воз­ник­но­ве­ние пе­ре­мен­но­го элек­трич. по­ля, а пе­ре­мен­ное элек­трич. по­ле – воз­ник­но­ве­ние пе­ре­мен­но­го маг­нит­но­го по­ля и, т. о., пе­ре­мен­ные элек­трич. и маг­нит­ные по­ля мо­гут под­дер­жи­вать друг дру­га, об­ра­зуя са­мо­сто­ятель­ный фи­зич. объ­ект – элек­тро­маг­нит­ную вол­ну, су­ще­ст­вую­щую уже не­за­ви­си­мо от пер­вич­ных ис­точ­ни­ков элек­трич. и маг­нит­но­го по­лей. Дж. К. Мак­свелл впер­вые по­лу­чил из М. у. вол­но­вое урав­не­ние для элек­тро­маг­нит­ной вол­ны и ус­та­но­вил, что элек­тро­маг­нит­ная вол­на рас­про­стра­ня­ет­ся в ва­куу­ме со ско­ро­стью, ко­то­рая сов­па­да­ет по ве­ли­чи­не с элек­тро­ди­на­мич. по­сто­ян­ной, вхо­дя­щей в ис­поль­зо­ван­ную Мак­свел­лом аб­со­лют­ную га­ус­со­ву сис­те­му еди­ниц. В. Э. Ве­бер

и нем. фи­зик Р. Коль­ра­уш в 1856 ус­та­но­ви­ли, что элек­тро­ди­на­мич. по­сто­ян­ная рав­на ско­ро­сти све­та в ва­куу­ме; это по­зволи­ло Мак­свел­лу пред­по­ло­жить, что свет пред­став­ля­ет со­бой элек­тро­маг­нит­ные вол­ны. Это пред­по­ло­же­ние на­шло своё под­твер­жде­ние в даль­ней­шем раз­ви­тии уче­ния о све­те.

С по­мо­щью М. у. бы­ло ус­та­нов­ле­но, что элек­тро­маг­нит­ное по­ле об­ла­да­ет энер­ги­ей и им­пуль­сом. На­ли­чие им­пуль­са у элек­тро­маг­нит­ной вол­ны и, сле­до­ва­тель­но, его из­ме­не­ние при по­гло­ще­нии или от­ра­же­нии при­во­дит к воз­ник­но­ве­нию дав­ле­ния элек­тро­маг­нит­ной вол­ны на по­гло­щаю­щую или от­ра­жаю­щую по­верх­ность. Тео­ре­ти­че­ски пред­ска­зан­ное и ко­ли­че­ст­вен­но рас­счи­тан­ное Дж. К. Мак­свел­лом дав­ле­ние све­та впер­вые бы­ло экс­пе­ри­мен­таль­но об­на­ру­же­но и из­ме­ре­но П. Н. Ле­бе­де­вым

в 1899. Ре­зуль­та­ты экс­пе­ри­мен­тов Ле­бе­де­ва, как и по­сле­дую­щие экс­пе­рим. ис­сле­до­ва­ния све­то­во­го дав­ле­ния, пол­но­стью под­твер­ди­ли ги­по­те­зу Мак­свел­ла об элек­тро­маг­нит­ном ха­рак­те­ре све­то­вых волн.

Осн. ха­рак­те­ри­сти­кой, опи­сы­ваю­щей про­цесс рас­про­стра­не­ния энер­гии и им­пуль­са элек­тро­маг­нит­но­го по­ля в про­стран­ст­ве, яв­ля­ет­ся Пойн­тин­га век­тор

 $\it {\mathbf Π}=[\boldsymbol E \boldsymbol H]$, на­прав­ле­ние ко­то­ро­го сов­па­да­ет с на­прав­ле­ни­ем им­пуль­са элек­тро­маг­нит­но­го по­ля и на­прав­ле­ни­ем рас­про­стра­не­ния его энер­гии, а ве­ли­чи­на рав­на плот­но­сти по­то­ка мощ­но­сти элек­тро­маг­нит­но­го по­ля – энер­гии, пе­ре­но­си­мой в еди­ни­цу вре­ме­ни че­рез еди­нич­ную пло­щад­ку, пер­пен­ди­ку­ляр­ную век­то­ру $\bf Π$ (или на­прав­ле­нию рас­про­стра­не­ния энер­гии).

Элек­тро­ди­на­ми­ка Мак­свел­ла ока­за­лась ис­то­ри­че­ски пер­вой ре­ля­ти­ви­ст­ской тео­ри­ей. Имен­но ана­лиз М. у. и ис­сле­до­ва­ние ме­то­дов их при­ме­не­ния к дви­жу­щим­ся сре­дам при­ве­ли к не­об­хо­ди­мо­сти пе­ре­строй­ки клас­сич. фи­зич. пред­став­ле­ний о про­стран­ст­ве и вре­ме­ни и соз­да­нию ча­ст­ной (спе­ци­аль­ной) тео­рии от­но­си­тель­но­сти. Ре­ля­ти­ви­ст­ский ха­рак­тер М. у. по­зво­ля­ет за­пи­сать их в ре­ля­ти­вист­ски ко­ва­ри­ант­ной (оди­на­ко­вой во всех инер­ци­аль­ных сис­те­мах от­счё­та) тен­зор­ной фор­ме, от­ку­да мо­гут быть по­лу­че­ны фор­му­лы пре­об­ра­зо­ва­ния по­ле­вых век­то­ров $\boldsymbol E, \boldsymbol B, \boldsymbol D$ и $\boldsymbol H$, а так­же $\boldsymbol j$ и $ρ$ при пе­ре­хо­де от од­ной инер­ци­аль­ной сис­те­мы от­счё­та к дру­гой.

М. у. по­слу­жи­ли тео­ре­тич. ос­но­вой для соз­да­ния и раз­ви­тия тех­ни­ки ра­дио­свя­зи и те­ле­ви­де­ния, элек­тро­тех­ни­ки, элек­тро­ни­ки и др. на­прав­ле­ний совр. нау­ки и тех­ни­ки.