ЛО́РЕНЦА — МА́КСВЕЛЛА УРАВНЕ́НИЯ

ЛО́РЕНЦА – МА́КСВЕЛЛА УРАВНЕ́НИЯ, осн. урав­не­ния мик­ро­ско­пич. клас­сич. элек­тро­ди­на­ми­ки, оп­ре­де­ляю­щие элек­тро­маг­нит­ные по­ля, соз­да­вае­мые отд. за­ря­жен­ны­ми час­ти­ца­ми, дви­жу­щи­ми­ся (или по­коя­щи­ми­ся) в ва­куу­ме. Л. – М. у. ле­жат в ос­но­ве элек­трон­ной тео­рии, раз­ра­бо­тан­ной Х. А. Ло­рен­цем в кон. 19 – нач. 20 вв. Л. – М. у. яв­ля­ют­ся след­ст­ви­ем пе­ре­но­са фе­но­ме­но­ло­ги­че­ских Мак­свел­ла урав­не­ний, оп­ре­де­ляю­щих на­блю­дае­мое мак­ро­ско­пи­че­ское (ус­ред­нён­ное) элек­тро­маг­нит­ное по­ле, на мик­ро­ско­пи­че­ское (не­по­сред­ст­вен­но не­на­блю­дае­мое) элек­тро­маг­нит­ное по­ле и име­ют вид:$$\textrm {rot}\,\boldsymbol{e} = -\frac{\partial \boldsymbol b}{\partial t}, \quad \textrm{rot}\,\boldsymbol{b}=μ_0 \left( \sum_iρ_iv_i +ε_0\frac{\partial \boldsymbol{e}}{\partial t}\right),\\ \textrm{div}\,\boldsymbol{e}=\frac{1}{ε_0}\sum_i ρ_i,\quad \textrm{div}\,\boldsymbol{b}=0,$$где $\boldsymbol{e}$ и $\boldsymbol{b}$ – на­пря­жён­ность элек­три­че­ско­го и ин­дук­ция маг­нит­но­го мик­ро­ско­пич. по­лей, $ρ_i$ – объ­ём­ная плот­ность элек­трич. за­ря­дов, $\boldsymbol{v}_i$ – их ско­рость, $μ_0=4π·10^{–7}$ Гн/м – маг­нит­ная по­сто­ян­ная, $ε_0=1/ μ_0c^2$  – элек­трич. по­сто­ян­ная, $c$ – ско­рость рас­про­стра­не­ния элек­тро­маг­нит­ных волн (ско­рость све­та) в ва­ку­уме. Для фи­зич. мо­де­ли то­чеч­но­го за­ря­да ве­ли­чи­ной $q_i$, дви­жу­ще­го­ся по за­ко­ну $\boldsymbol{r}_i(t)$ со ско­ро­стью $\boldsymbol{v}_i=\boldsymbol{ṙ}_i$, плот­ность за­ря­да $ρ_i(\boldsymbol{r},t)=q_i δ (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i(t))$, где $δ(\boldsymbol{r})=δ(x)δ(y)δ(z)$ – дель­та-функ­ция Ди­ра­ка, $\boldsymbol{r}_i$ – ра­ди­ус-век­тор за­ря­да, $t$ – вре­мя.

Ло­ренц пред­ло­жил учесть в урав­не­ни­ях Мак­свел­ла дис­крет­ность элек­три­че­ст­ва, кон­цеп­ция ко­то­рой сло­жи­лась к кон. 19 в. вслед­ст­вие ус­пеш­но­го при­ме­не­ния ги­по­те­зы об атом­ном строе­нии ве­ще­ст­ва для объ­яс­не­ния та­ких хо­ро­шо изу­чен­ных яв­ле­ний, как, напр., элек­тро­лиз. В элек­трон­ной тео­рии пред­по­ла­га­ет­ся, что вся­кое ве­ще­ст­во со­сто­ит из по­ло­жи­тель­но и от­ри­ца­тель­но за­ря­жен­ных час­тиц (ядер, элек­тро­нов, ио­нов) и вы­зван­но­го ими элек­тро­маг­нит­но­го по­ля в ва­куу­ме, а элек­трич. то­ки обу­слов­ле­ны толь­ко дви­же­ни­ем этих за­ря­дов. С по­мо­щью Л. – М. у. бы­ло ус­та­нов­ле­но, что элек­тро­маг­нит­ное по­ле в ка­ж­дой точ­ке за­ни­мае­мо­го им про­стран­ст­ва об­ла­да­ет объ­ём­ны­ми плот­но­стя­ми энер­гии и элек­тро­маг­нит­но­го им­пуль­са, бы­ли вы­ве­де­ны за­кон со­хра­не­ния энер­гии элек­тро­маг­нит­но­го по­ля, взаи­мо­дей­ст­вую­ще­го с за­ря­жен­ны­ми час­ти­ца­ми, за­кон со­хра­не­ния им­пуль­са элек­тро­маг­нит­но­го по­ля и за­кон со­хра­не­ния элек­трич. за­ря­да.

Для опи­са­ния дви­же­ния за­ря­дов к Л. – М. у. до­бав­ля­ют­ся клас­сич. урав­не­ния дви­же­ния (вто­рой за­кон Нью­то­на) ка­ж­до­го из за­ря­дов под дей­ст­ви­ем Ло­рен­ца си­лы, дей­ст­вую­щей на за­ря­ды со сто­ро­ны элек­тро­маг­нит­но­го по­ля. Объ­ём­ная плот­ность этой си­лы оп­ре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем: $\boldsymbol{f}_i=ρ_i(\boldsymbol{e}+ \boldsymbol{[v_ib]}$). В рам­ках элек­трон­ной тео­рии пред­по­ла­га­ет­ся, что мик­ро­ско­пич. по­ля дей­ст­ву­ют и внут­ри за­ря­жен­ных час­тиц, что по­зво­ля­ет рас­смот­реть взаи­мо­дей­ст­вие за­ря­жен­ной час­ти­цы с соб­ст­вен­ным элек­тро­маг­нит­ным по­лем. Ес­ли в ка­че­ст­ве мо­де­ли за­ря­жен­ной час­ти­цы вы­брать шар ра­диу­сом $a$, по объ­ё­му ко­то­ро­го рав­но­мер­но рас­пре­де­лён за­ряд $q$, то для си­лы са­мо­воз­дей­ст­вия по­лу­ча­ет­ся раз­ло­же­ние:$$\boldsymbol{F}=-\frac{4}{5}\frac{q_0^2}{ac^2} \boldsymbol{\ddot r}_C+\frac{2q^2_0}{3c^2} \boldsymbol{\dddot r}_C + ...,$$где $q_0^2=q^2/4πε_0=μ_0c^2q^2/4π=10^{–7}c^2q^2, \boldsymbol{r}_С$ – ра­ди­ус-век­тор цен­тра масс час­ти­цы. Выс­шие чле­ны раз­ло­же­ния про­пор­цио­наль­ны ра­диу­су час­ти­цы и ис­че­за­ют при $a→0$. Вто­рой член раз­ло­же­ния (не за­ви­ся­щий от $a$) яв­ля­ет­ся си­лой ра­ди­ац. тре­ния, обу­слов­лен­ной по­те­рей энер­гии дви­жу­щей­ся час­ти­цы вслед­ст­вие элек­тро­маг­нит­но­го из­лу­че­ния. Пер­вый член пред­став­ля­ет со­бой про­из­ве­де­ние ус­ко­ре­ния час­ти­цы на ко­эф­фи­ци­ент, ко­то­рый мо­жет быть ис­тол­ко­ван как до­пол­нит. мас­са час­ти­цы, обу­слов­лен­ная её за­ря­дом (элек­тро­маг­нит­ная по­прав­ка к мас­се час­ти­цы); он стре­мит­ся к бес­ко­неч­но­сти при $a→0$, что ука­зы­ва­ет на внутр. про­ти­во­ре­чия элек­трон­ной тео­рии.

Мик­ро­ско­пич. по­ля $\boldsymbol{e}$ и $\boldsymbol{b}$ очень бы­ст­ро из­ме­ня­ют­ся в про­стран­ст­ве и во вре­ме­ни, что объ­яс­ня­ет­ся бы­ст­рым дви­же­ни­ем боль­шо­го ко­ли­че­ст­ва мик­ро­ско­пи­че­ски за­ря­жен­ных час­тиц (элек­тро­нов и ядер), соз­даю­щих эти по­ля. Та­кие быс­тро­пе­ре­мен­ные по­ля не мо­гут быть из­ме­ре­ны мак­ро­ско­пич. при­бо­ра­ми. По­это­му для мак­ро­ско­пич. опи­са­ния элек­тро­маг­нит­ных яв­ле­ний не­об­хо­ди­мы за­ко­ны, со­дер­жа­щие фи­зич. ве­ли­чи­ны, ко­то­рые дос­та­точ­но мед­лен­но из­ме­ня­ют­ся в про­стран­ст­ве и во вре­ме­ни и, сле­до­ва­тель­но, мо­гут быть из­ме­ре­ны с по­мо­щью при­бо­ров. Кро­ме то­го, из-за ог­ром­но­го ко­ли­че­ст­ва ин­ди­ви­ду­аль­ных час­тиц в ре­аль­ных ве­ще­ст­вах по­лу­че­ние ин­фор­ма­ции об их дви­же­нии и об отд. по­ле ка­ж­дой час­ти­цы ста­но­вит­ся прак­ти­че­ски не­воз­мож­ным. В то же вре­мя боль­шое чис­ло рас­смат­ри­вае­мых час­тиц де­ла­ет ста­ти­сти­че­ски ус­той­чи­вы­ми ср. зна­че­ния ха­рак­те­ри­стик дви­же­ния час­тиц и их по­лей вслед­ст­вие то­го, что от­кло­не­ния от сред­не­го убы­ва­ют с уве­ли­че­ни­ем чис­ла час­тиц про­пор­цио­наль­но $1/\sqrt{N}$, где $N$ – чис­ло рас­смат­ри­вае­мых час­тиц.

Та­ким об­ра­зом, для по­лу­че­ния дос­туп­ных для из­ме­ре­ния мак­ро­ско­пич. ве­ли­чин сле­ду­ет про­вес­ти ус­ред­не­ние мик­ро­ско­пич. ве­ли­чин, вхо­дя­щих в Л. – М. у. Для это­го не­об­хо­ди­мо оп­ре­де­лить ис­ко­мые мак­ро­ско­пич. ве­ли­чи­ны как ста­ти­сти­че­ские сред­ние по час­ти­цам, на­хо­дя­щим­ся в эле­мен­тар­ном объ­ё­ме, дос­та­точ­но ма­лом с мак­ро­ско­пич. точ­ки зре­ния (что­бы не ог­ра­ни­чи­вать раз­ре­шаю­щую спо­соб­ность при­ме­няе­мых из­ме­рит. при­бо­ров), но со­дер­жа­щем дос­та­точ­но боль­шое чис­ло час­тиц, для то­го что­бы мож­но бы­ло при­ме­нять за­ко­ны ста­ти­стич. ме­ха­ни­ки. Это оз­на­ча­ет, что про­стран­ст­вен­ные раз­ме­ры объ­ё­ма ус­ред­не­ния долж­ны быть ве­ли­ки по срав­не­нию с меж­атом­ны­ми рас­стоя­ния­ми, но ма­лы по срав­не­нию с раз­ме­ра­ми ис­сле­дуе­мой час­ти фи­зич. сис­те­мы (или дли­ной рас­смат­ри­вае­мых элек­тро­маг­нит­ных волн в сре­де). Ана­ло­гич­но, вре­мен­ной ин­тер­вал, по ко­то­ро­му про­из­во­дит­ся ус­ред­не­ние, дол­жен быть боль­шим по срав­не­нию с ха­рак­тер­ны­ми вре­ме­на­ми мик­ро­ско­пич. дви­же­ний (напр., c пе­рио­да­ми элек­трон­ных ос­цил­ля­ций в ато­мах или c пе­рио­да­ми ко­ле­ба­ний элек­тро­маг­нит­ных волн), но ма­лым по срав­не­нию с вре­мен­ны́м раз­ре­ше­ни­ем ис­поль­зуе­мых при­бо­ров или про­ме­жут­ка­ми вре­ме­ни, за ко­то­рые за­мет­но из­ме­ня­ют­ся из­ме­ряе­мые ха­рак­те­ри­сти­ки элек­тро­маг­нит­но­го по­ля.

При­ме­не­ние про­це­ду­ры ус­ред­не­ния для мик­ро­по­лей да­ёт: $$\left\langle \boldsymbol{e} \right\rangle = \boldsymbol {E},\, \left\langle \boldsymbol{b} \right\rangle = \boldsymbol{B},$$ где $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{B}$ – на­пря­жён­ность элек­три­че­ско­го и ин­дук­ция маг­нит­но­го мак­ро­ско­пи­че­ских (на­блю­дае­мых) по­лей. В элек­трон­ной тео­рии все за­ря­ды раз­де­ля­ют­ся на сво­бод­ные (сво­бод­но пе­ре­ме­щаю­щие­ся по объ­ё­му ве­ще­ст­ва) и свя­зан­ные (вхо­дя­щие в со­став ней­траль­ных ато­мов или мо­ле­кул). Вслед­ст­вие это­го$$\left\langle \sum_i ρ_i \right\rangle=ρ+ρ_{связ}=ρ - \textrm{div}\,\boldsymbol{P}$$где $ρ$  – ср. плот­ность сво­бод­ных за­ря­дов, $ρ_{связ}$ – ср. плот­ность свя­зан­ных за­ря­дов, $\boldsymbol{P}=\left\langle \sum_i\boldsymbol{p}_i \right\rangle$ – век­тор по­ля­ри­за­ции, $\boldsymbol{p}_i $ – ди­поль­ные мо­мен­ты отд. ато­мов и мо­ле­кул. Кро­ме ди­поль­ных мо­мен­тов, ато­мы и мо­ле­ку­лы мо­гут об­ла­дать так­же маг­нит­ны­ми мо­мен­та­ми $\boldsymbol{m}_i$. Оп­ре­де­лив век­тор на­маг­ни­чен­но­сти $\boldsymbol{M}=\left\langle \sum_i\boldsymbol{m}_i\right\rangle$, на­хо­дим:$$\left\langle \sum_iρ_i\boldsymbol{v}_i \right\rangle=\boldsymbol{j}+\frac{\partial\boldsymbol{P}}{\partial t}+\textrm{rot}\,\boldsymbol{M},$$где $\boldsymbol{j}=ρ\left\langle\boldsymbol{v}_i\right\rangle$ – плот­ность то­ка про­во­ди­мо­сти. Если ввести век­то­ры элек­трич. ин­дук­ции $\boldsymbol{D}$ и на­пря­жён­но­сти маг­нит­но­го по­ля $\boldsymbol{H}$, учи­ты­ваю­щие мак­ро­ско­пич. ха­рак­те­ри­сти­ки сре­ды $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{M}$:$$\boldsymbol{D}=ε_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}=ε_0ε\boldsymbol{E},\quad \boldsymbol{H}=\frac{\boldsymbol{B}}{μ_0}-\boldsymbol{M}=\frac{\boldsymbol{B}}{μ_0μ},$$то в ре­зуль­та­те ус­ред­не­ния Л.– М. у. по­лу­ча­ют­ся урав­не­ния Мак­свел­ла в обыч­ной фор­ме, а так­же да­ёт­ся мик­ро­ско­пич. ис­тол­ко­ва­ние ди­элек­трич. про­ни­цае­мо­сти $ε$ и маг­нит­ной про­ни­цае­мо­сти $μ$, ис­поль­зуе­мых в этих урав­не­ни­ях. Рас­смот­ре­ние, про­ве­дён­ное в рам­ках элек­трон­ной тео­рии, так­же да­ёт мик­ро­ско­пич. ин­тер­пре­та­цию элек­трич. про­во­ди­мо­сти про­вод­ни­ков и объ­яс­ня­ет яв­ле­ние дис­пер­сии (за­ви­си­мо­сти $ε$ и $μ$ от час­то­ты).

Пред­по­ло­же­ния, ле­жа­щие в ос­но­ве клас­сич. элек­трон­ной тео­рии, пе­ре­ста­ют вы­пол­нять­ся на ма­лых про­стран­ст­вен­ных и вре­мен­ны́х ин­тер­ва­лах. В этом слу­чае для кор­рект­но­го опи­са­ния элек­тро­маг­нит­ных яв­ле­ний и за­ко­но­мер­но­стей взаи­мо­дей­ст­вия элек­тро­маг­нит­но­го по­ля с ве­ще­ст­вом не­об­хо­ди­мо ис­поль­зо­вать за­ко­ны кван­то­вой элек­тро­ди­на­ми­ки (КЭД). По­ле­вые век­то­ры $\boldsymbol{e}$ и $\boldsymbol{b}$ за­ме­ня­ют­ся опе­ра­то­ра­ми, дей­ст­вую­щи­ми на вол­но­вые функ­ции (ам­пли­ту­ды ве­ро­ят­но­сти), а за­ря­жен­ные час­ти­цы опи­сы­ва­ют­ся со­от­вет­ст­вую­щи­ми кван­то­вы­ми по­ля­ми. Не­смот­ря на внутр. труд­но­сти (воз­ник­но­ве­ние бес­ко­неч­но­стей, как и в клас­сич. элек­трон­ной тео­рии), КЭД по­зво­ля­ет рас­счи­ты­вать мн. ха­рак­те­ри­сти­ки взаи­мо­дей­ст­вия по­ля и ве­ще­ст­ва, до­би­ва­ясь бле­стя­ще­го сов­па­де­ния тео­рии и экс­пе­ри­мен­та.