ЛАГРА́НЖА ФУ́НКЦИЯ

ЛАГРА́НЖА ФУ́НКЦИЯ (ки­не­ти­че­ский по­тен­ци­ал), функ­ция, вве­дён­ная Ж. Ла­гран­жем для опи­са­ния дви­же­ний ме­ха­нич. го­ло­ном­ных сис­тем, на­хо­дя­щих­ся под дей­ст­ви­ем по­тен­ци­аль­ных сил. Вы­ра­жа­ет­ся че­рез обоб­щён­ные ко­ор­ди­на­ты $q_i$, обоб­щён­ные ско­ро­сти $\dot{q}_i$, вре­мя $t$ и рав­на раз­но­сти ме­ж­ду ки­не­тич. энер­гией $T$ и по­тен­ци­аль­ной энер­ги­ей Π ме­ха­нич. сис­те­мы: $L(q_i,\dot{q}_i,t)=T(q_i,\dot{q}_i,t)-Π(q_i)$, где $i=1, ..., n$ ($n$ – чис­ло сте­пе­ней сво­бо­ды сис­те­мы).

Л. ф. $L$, как и Га­миль­то­на функ­ция Н, пол­но­стью ха­рак­те­ри­зу­ет го­ло­ном­ную кон­сер­ва­тив­ную ме­ха­нич. сис­те­му. При по­мо­щи Л. ф. урав­не­ния дви­же­ния сис­те­мы за­пи­сы­ва­ют­ся в фор­ме Ла­гран­жа урав­не­ний 2-го ро­да. Л. ф. вхо­дит в вы­ра­же­ние для фи­зич. ве­ли­чи­ны дей­ст­вия, ко­то­рое ис­поль­зу­ет­ся, напр., при фор­му­ли­ров­ке наи­мень­ше­го дей­ст­вия прин­ци­па.

По­ня­тие «Л. ф.» при­ме­ни­мо и к не­кото­рым др. ме­ха­нич. сис­те­мам (к сис­те­мам с бес­ко­неч­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды, изу­чае­мых, напр., в тео­рии уп­ру­го­сти). В этом слу­чае Л. ф. не обя­за­тель­но оп­ре­де­ля­ет­ся как раз­ность ки­не­тич. и по­тен­ци­аль­ной энер­гий и яв­ля­ет­ся про­из­воль­ной функ­ци­ей $L(q_i,\dot{q}_i,t)$, удов­ле­тво­ряю­щей не­ко­то­рым ус­ло­ви­ям (мат­ри­ца вто­рых про­из­вод­ных от Л. ф. по обоб­щён­ным ско­ро­стям долж­на быть не­вы­ро­ж­ден­ной). В кван­то­вой тео­рии по­ля ана­ло­гом Л. ф. яв­ля­ет­ся опе­ра­тор – ла­гран­жи­ан.