ЛАГРАНЖИА́Н

ЛАГРАНЖИА́Н, функ­ция $L(φ_i)$ от обоб­щён­ных ди­на­мич. пе­ре­мен­ных, оп­ре­де­ляю­щая урав­не­ния дви­же­ния сис­те­мы в кван­то­вой тео­рии по­ля (КТП); ана­лог Ла­гран­жа функ­ции клас­сич. фи­зич. по­ля. Обоб­щён­ны­ми ди­на­мич. пе­ре­мен­ны­ми (ко­то­рые в КТП ста­но­вят­ся опе­ра­тора­ми) яв­ля­ют­ся функ­ции по­ля $φ_i(x)$ и их про­из­вод­ные по вре­ме­ни в ка­ж­дой точ­ке про­стран­ст­ва-вре­ме­ни $х= (t, \boldsymbol x)$. Урав­не­ния дви­же­ния, как и в клас­сич. ме­ха­ни­ке, по­лу­ча­ют­ся из прин­ци­па наи­мень­ше­го дей­ст­вия (см. Наи­мень­ше­го дей­ст­вия прин­цип), за­пи­сы­вае­мо­го в КТП как $δS/δφ_i=0$, где дей­ст­вие $S(φ_i)=\int L[φ_i(x)]d^4x$.

Л., ле­жа­щий в ос­но­ве ла­гран­же­ва под­хо­да в КТП, со­сто­ит из сво­бод­но­го Л., оп­ре­де­ляю­ще­го на­бор и свой­ст­ва сво­бод­ных по­лей, а так­же прин­ци­пы их кван­то­ва­ния, и Л. взаи­мо­дей­ст­вия, оп­ре­де­ляю­ще­го ха­рак­тер и вид взаи­мо­дей­ст­вия по­лей. Л. взаи­мо­дей­ст­вия вхо­дит так­же в оп­ре­де­ле­ние мат­ри­цы рас­сея­ния (S-мат­ри­цы), эле­мен­ты ко­то­рой за­да­ют ве­ро­ят­но­сти всех про­цес­сов, про­ис­хо­дя­щих с эле­мен­тар­ны­ми час­ти­ца­ми. 

Важ­ней­шим свой­ст­вом Л. яв­ля­ет­ся его ин­ва­ри­ант­ность (не­из­мен­ность) от­но­си­тель­но к.-л. пре­об­ра­зо­ва­ний ди­на­мич. пе­ре­мен­ных. Так, ин­ва­ри­ант­ность от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ний ко­ор­ди­нат и вре­ме­ни (сдви­гов, по­во­ро­тов) при­во­дит к за­ко­нам со­хра­не­ния энер­гии-им­пуль­са и уг­ло­во­го мо­мен­та, ин­ва­ри­ант­ность от­но­си­тель­но гло­баль­ных (не за­ви­ся­щих от ко­ор­ди­нат про­стран­ст­ва-вре­ме­ни) ка­либ­ро­воч­ных пре­об­ра­зо­ва­ний – к за­ко­нам со­хра­не­ния за­ря­дов (элек­трич., леп­тон­но­го, ба­ри­он­но­го и др.). Осо­бую роль в КТП иг­ра­ет тре­бо­ва­ние ин­ва­ри­ант­но­сти Л. от­но­си­тель­но ло­каль­ных (за­ви­ся­щих от ко­ор­ди­нат про­стран­ст­ва-вре­ме­ни) ка­либ­ро­воч­ных пре­об­ра­зо­ва­ний. Оно при­во­дит к оп­ре­де­лён­ным взаи­мо­дей­ст­ви­ям и са­мо­дей­ст­ви­ям разл. по­лей, ко­то­рые и оп­ре­де­ля­ют про­цес­сы рас­па­да, рас­сея­ния и ро­ж­де­ния но­вых час­тиц. Та­ко­вы Л. в кван­то­вой хро­мо­ди­на­ми­ке, ос­но­ван­ный на ка­либ­ро­воч­ной сим­мет­рии в про­стран­ст­ве цве­та SU(3)_с, и Л. элек­тро­сла­бых взаи­мо­дей­ст­вий, ос­но­ван­ный на груп­пе изо­то­пи­че­ских пре­обра­зо­ва­ний в про­стран­ст­ве ки­раль­но «ле­вых» (см. Ки­раль­ность) леп­то­нов и квар­ков SU(2)_L × U(1).