МА́ТРИЦА РАССЕ́ЯНИЯ

МА́ТРИЦА РАССЕ́ЯНИЯ ($S$-мат­ри­ца) в кван­то­вой тео­рии, уни­тар­ная (бес­ко­неч­но­мер­ная) мат­ри­ца, со­став­лен­ная из ам­пли­туд ве­ро­ят­но­стей пе­ре­хо­да кван­то­вой сис­те­мы из од­но­го асим­пто­тич. со­стоя­ния в гиль­бер­то­вом про­стран­ст­ве в дру­гое в ре­зуль­та­те ак­та взаи­мо­дей­ст­вия с др. сис­те­мой. Впер­вые вве­де­на Дж. Уи­ле­ром

в 1937 для опи­са­ния ре­зо­нанс­ной струк­ту­ры лёг­ких ядер и не­за­ви­си­мо В. Гей­зен­бер­гом

 >>

в 1943 для опи­са­ния об­щих свойств рас­сея­ния в кван­то­вой тео­рии по­ля

 >>

(КТП).

М. р. яв­ля­ет­ся опе­ра­то­ром эво­лю­ции, ко­то­рый пе­ре­во­дит на­чаль­ное со­стоя­ние $|i〉$ сис­те­мы сво­бод­ных час­тиц, ха­рак­те­ри­зуе­мое со­во­куп­но­стью кван­то­вых чи­сел $i$ и за­дан­ное в мо­мент вре­ме­ни $t=-∞$, в ко­неч­ное со­стоя­ние $|f〉$, ха­рак­те­ри­зуе­мое со­во­куп­но­стью кван­то­вых чи­сел $f$ и за­дан­ное в мо­мент вре­ме­ни $t=+∞$. Этот пе­ре­вод за­пи­сы­ва­ет­ся как $|f〉=S|i〉$. Со­во­куп­ность ам­пли­туд ве­ро­ят­но­сти про­цес­сов пе­ре­хо­да об­ра­зу­ет мат­ри­цу $S_{if}$ ($i$ – но­мер стро­ки, $f$ – но­мер столб­ца); ка­ж­дая ам­пли­ту­да яв­ля­ет­ся эле­мен­том этой мат­ри­цы (мат­рич­ным эле­мен­том). На­бо­ры кван­то­вых чи­сел $i$, $f$ мо­гут со­дер­жать как не­пре­рыв­ные ве­ли­чи­ны (энер­гию, угол рас­сея­ния и др.), так и дис­крет­ные (ор­би­таль­ное кван­то­вое чис­ло, спин, изо­то­пич. спин и др.). Квад­рат мо­ду­ля мат­рич­но­го эле­мен­та $S$-мат­ри­цы $|S_{if}|^2$ оп­ре­де­ля­ет ве­ро­ят­ность со­от­вет­ст­вую­ще­го про­цес­са. В КТП $S$-мат­ри­ца пред­став­ля­ет со­бой упо­ря­до­чен­ную по вре­ме­ни экс­по­нен­ту от га­миль­то­ниа­на взаи­мо­дей­ст­вия сис­те­мы: $$S=T\textrm{exp}\left [ \int_{-\infty }^{+\infty }H_{ВЗ}(t)dt \right ]=T\textrm{exp}\left [ \int_{-\infty }^{+\infty }H_{ВЗ}(t,\boldsymbol x)dtd\boldsymbol x \right ],$$

где сим­вол $T$ оз­на­ча­ет упо­ря­до­че­ние по вре­ме­ни, $H_{вз}$ – га­миль­то­ни­ан взаи­мо­дей­ст­вия сис­те­мы,$\boldsymbol x$ – про­странственная ко­ор­дина­та. М. р. мо­жет быть вы­ра­же­на так­же че­рез ин­те­грал по пу­тям Фейн­мана. В обо­их слу­ча­ях вы­чис­ле­ние эле­мен­тов М. р. в ви­де раз­ло­же­ния по ма­ло­му па­ра­мет­ру – кон­стан­те взаи­мо­дей­ст­вия – осу­ще­ст­в­ля­ет­ся с ис­поль­зо­ва­ни­ем Фейн­ма­на диа­грамм

. В об­щем слу­чае М. р. со­дер­жит эле­мен­ты, оп­ре­де­ляю­щие как уп­ру­гое рас­сея­ние, так и про­цес­сы пре­вра­ще­ния и ро­ж­де­ния час­тиц.

На­хо­ж­де­ние М. р. – осн. за­да­ча кван­то­вой ме­ха­ни­ки и КТП. М. р. со­дер­жит всю ин­фор­ма­цию о по­ве­де­нии сис­те­мы, ес­ли из­вест­ны не толь­ко чис­лен­ные зна­че­ния, но и ана­ли­тич. свой­ст­ва её эле­мен­тов; в ча­ст­но­сти, по­лю­сы $S$-мат­ри­цы в ком­плекс­ной плос­ко­сти энер­гии час­тиц иден­ти­фи­ци­ру­ют­ся со свя­зан­ны­ми со­стоя­ния­ми или с ре­зо­нан­са­ми, а точ­ки ветв­ле­ния – с от­кры­ти­ем но­вых ка­на­лов рас­сея­ния.

Из осн. прин­ци­пов кван­то­вой тео­рии сле­ду­ет важ­ней­шее свой­ст­во М. р. – её уни­тар­ность. Оно вы­ра­жа­ет­ся в ви­де со­от­но­ше­ния $SS^+=1$ [$S^+$ – мат­ри­ца, эр­мито­во-со­пря­жён­ная $S$, т. е. $(S^+)_{fi}=S^*_{if}$, где знак $^*$ оз­на­ча­ет ком­плекс­ное со­пря­же­ние], или $$\sum_{f}S_{if}S^*_{fj}=\left\{\begin{matrix} 0 &при \: i\neq j\\ 1&при \: i\neq j \end{matrix}\right.$$

и от­ра­жа­ет тот факт, что сум­ма ве­ро­ят­но­стей рас­сея­ния по всем воз­мож­ным ка­на­лам ре­ак­ции долж­на рав­нять­ся еди­ни­це. Эле­мен­ты М. р. от­лич­ны от ну­ля, толь­ко ес­ли вы­пол­ня­ет­ся за­кон со­хра­не­ния энер­гии-им­пуль­са.

Из об­щих прин­ци­пов кван­то­вой тео­рии (ус­ло­вия мик­ро­при­чин­но­сти, ре­ля­ти­ви­ст­ской ин­ва­ри­ант­но­сти

и др.) сле­ду­ет, что мат­рич­ные эле­мен­ты $S$-мат­рицы яв­ля­ют­ся ана­ли­тич. функ­ция­ми в не­ко­то­рых об­лас­тях ком­плекс­ных пе­ре­мен­ных. Ана­ли­тич. свой­ст­ва мат­рич­ных эле­мен­тов $S$-мат­ри­цы по­зво­ля­ют по­лу­чить ряд со­от­но­ше­ний ме­ж­ду оп­ре­де­ляе­мы­ми из экс­пе­ри­мен­та ве­ли­чи­на­ми – дис­пер­си­он­ные со­от­но­ше­ния

 >>

, ко­то­рые вы­ра­жа­ют мни­мую часть ам­пли­ту­ды од­но­го про­цес­са че­рез ам­пли­ту­ды др. про­цес­сов, а так­же свя­зать ме­ж­ду со­бой пол­ные се­че­ния рас­сея­ния час­тиц и ан­ти­час­тиц. Т. о. уда­ёт­ся ус­та­но­вить взаи­мо­связь ме­ж­ду разл. фи­зич. про­цес­са­ми.