Э́ЙЛЕРА УРАВНЕ́НИЯ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Э́ЙЛЕРА УРАВНЕ́НИЯ механики твёрдого тела, динамич. и кинематич. уравнения, описывающие движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки. В 1750 Л. Эйлер применил осн. законы динамики к движению каждой частицы твёрдого тела в проекциях на оси неподвижной системы координат, что позволило ему вывести уравнения вращения твёрдого тела. Позднее, используя в качестве осей осн. системы координат гл. оси инерции тела, Эйлер придал общим динамич. уравнениям совр. форму. Э. у., опубликованные в 1765 в трактате «Теория движения твёрдых тел», дают исчерпывающее описание всех видов движений всех видов твёрдых тел.
Динамич. Э. у. имеют вид:$$I_x·dω_x/dt+(I_z-I_y)·ω_yω_z=M_x,\\ I_y·dω_y/dt+(I_x-I_z)·ω_zω_x=M_y,\\ I_z·dω_z/dt+(I_y-I_x)·ω_xω_y=M_z,$$ где $I_x$, $I_y$, $I_z$ – моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, $ω_x$, $ω_y$, $ω_z$ и $dω_x/dt$, $dω_y/dt$, $dω_z/dt$ – проекции соответственно мгновенной угловой скорости тела и его углового ускорения на эти оси, $M_x$, $M_y$, $M_z$ – гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей.
Э. у. позволяют определить момент сил, действующих на тело, опираясь на знание закона его движения. Если известна зависимость сил, действующих на тело, от угловых скоростей и, напр., от Эйлера углов ($θ$, $φ$, $ψ$) и времени $t$, то к динамич. Э. у. необходимо добавить кинематич. Э. у.: $$ω_x=dθ/dt\cos φ-dψ/dt\sin θ \sin φ,\\ ω_y=dθ/dt\sin φ+dψ/dt\sin θ \cos φ,\\ ω_z=dφ/dt+dψ/dt \cos θ.$$ Это позволяет установить законы движения тела, отвечающие разл. начальным условиям.
В частном случае $M_x=M_y=M_z=0$ динамич. Э. у. имеют первые интегралы, отвечающие сохранению вектора кинетич. момента и кинетич. энергии тела. Такое решение динамич. Э. у. используется при приближённом описании собственного вращения небесных тел и дальних КА.