Э́ЙЛЕРА УРАВНЕ́НИЯ

Э́ЙЛЕРА УРАВНЕ́НИЯ ме­ха­ни­ки твёр­до­го те­ла, ди­на­мич. и ки­не­ма­тич. урав­не­ния, опи­сы­ваю­щие дви­же­ния твёр­до­го те­ла во­круг не­под­виж­ной точ­ки. В 1750 Л. Эй­лер

при­ме­нил осн. за­ко­ны ди­на­ми­ки к дви­же­нию ка­ж­дой час­ти­цы твёр­до­го те­ла в про­ек­ци­ях на оси не­под­виж­ной сис­те­мы ко­ор­ди­нат, что по­зво­ли­ло ему вы­вес­ти урав­не­ния вра­ще­ния твёр­до­го те­ла. Позд­нее, ис­поль­зуя в ка­че­ст­ве осей осн. сис­те­мы ко­ор­ди­нат гл. оси инер­ции те­ла, Эй­лер при­дал об­щим ди­на­мич. урав­не­ни­ям совр. фор­му. Э. у., опуб­ли­ко­ван­ные в 1765 в трак­та­те «Тео­рия дви­же­ния твёр­дых тел», да­ют ис­чер­пы­ваю­щее опи­са­ние всех ви­дов дви­же­ний всех ви­дов твёр­дых тел.

Ди­на­мич. Э. у. име­ют вид: $$I_x·dω_x/dt+(I_z-I_y)·ω_yω_z=M_x,\\ I_y·dω_y/dt+(I_x-I_z)·ω_zω_x=M_y,\\ I_z·dω_z/dt+(I_y-I_x)·ω_xω_y=M_z,$$ где $I_x$, $I_y$, $I_z$ – мо­мен­ты инер­ции

 те­ла от­но­си­тель­но гл. осей инер­ции, про­ве­дён­ных из не­под­виж­ной точ­ки, $ω_x$, $ω_y$, $ω_z$ и $dω_x/dt$, $dω_y/dt$, $dω_z/dt$ – про­ек­ции со­от­вет­ст­вен­но мгно­вен­ной уг­ло­вой ско­ро­сти те­ла и его уг­ло­во­го ус­ко­ре­ния на эти оси, $M_x$, $M_y$, $M_z$ – гл. мо­мен­ты сил, дей­ст­вую­щих на те­ло, от­но­си­тель­но тех же осей.

Э. у. по­зво­ля­ют оп­ре­де­лить мо­мент сил, дей­ст­вую­щих на те­ло, опи­ра­ясь на зна­ние за­ко­на его дви­же­ния. Ес­ли из­вест­на за­ви­си­мость сил, дей­ст­вую­щих на те­ло, от уг­ло­вых ско­ро­стей и, напр., от Эй­ле­ра уг­лов

($θ$, $φ$, $ψ$) и вре­ме­ни $t$, то к ди­на­мич. Э. у. не­об­хо­ди­мо до­ба­вить ки­не­ма­тич. Э. у.: $$ω_x=dθ/dt\cos φ-dψ/dt\sin θ \sin φ,\\ ω_y=dθ/dt\sin φ+dψ/dt\sin θ \cos φ,\\ ω_z=dφ/dt+dψ/dt \cos θ.$$ Это по­зво­ля­ет ус­та­но­вить за­ко­ны дви­же­ния те­ла, от­ве­чаю­щие разл. на­чаль­ным ус­ло­ви­ям.

В ча­ст­ном слу­чае $M_x=M_y=M_z=0$ ди­на­мич. Э. у. име­ют пер­вые ин­те­гра­лы, от­ве­чаю­щие со­хра­не­нию век­то­ра ки­не­тич. мо­мен­та и ки­не­тич. энер­гии те­ла. Та­кое ре­ше­ние ди­на­мич. Э. у. ис­поль­зу­ет­ся при при­бли­жён­ном опи­са­нии соб­ст­вен­но­го вра­ще­ния не­бес­ных тел и даль­них КА.