МОМЕ́НТ ИНЕ́РЦИИ

МОМЕ́НТ ИНЕ́РЦИИ те­ла, ска­ляр­ная ве­ли­чи­на, ме­ра инерт­но­сти те­ла при его не­по­сту­па­тель­ном (вра­ща­тель­ном) дви­же­нии. Ве­ли­чи­на М. и. за­ви­сит от рас­пре­де­ле­ния масс в те­ле. В ме­ха­ни­ке раз­ли­ча­ют осе­вые и цен­тро­беж­ные М. и. Осе­вым М. и. те­ла на­зы­ва­ет­ся ве­ли­чи­на, оп­ре­де­ляе­мая фор­му­лой $J=\sum_i M_ih_i^2$, где $M_i$ – мас­сы то­чек те­ла, $h_i$ – их рас­стоя­ния от оси. Эта фор­му­ла мо­жет быть за­пи­са­на че­рез ко­ор­ди­на­ты то­чек для М. и. от­но­си­тель­но осей $x, y, z$ в пря­мо­уголь­ной сис­те­ме ко­ор­ди­нат $Oxyz$: $$J_x=\sum_i M_i(y_i^2+z_i^2), J_y=\sum_i M_i(x_i^2+z_i^2), J_z=\sum_i M_i(y_i^2+x_i^2).$$

М. и. от­но­си­тель­но оси $z1$, про­хо­дя­щей че­рез центр масс те­ла, и па­рал­лель­ной ей оси $z$, рас­по­ло­жен­ной на рас­стоя­нии $d$ от оси $z1$, свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем $J_z=J_{z1}+Md^2$.

Цен­тро­беж­ны­ми М. и. в сис­те­ме ко­ор­ди­нат $Oxyz$ на­зы­ва­ют­ся ве­ли­чи­ны $$J_{xy}=\sum_iM_ix_iy_i, \quad J_{yz}=\sum_iM_iy_iz_i, \quad J_{zx}=\sum_iM_iz_ix_i,$$ слу­жа­щие ха­рак­те­ри­сти­ка­ми ди­на­мич. не­урав­но­ве­шен­но­сти вра­щаю­ще­го­ся те­ла. Напр., при вра­ще­нии во­круг оси $z$ си­лы дав­ле­ния на под­шип­ни­ки, в ко­то­рых за­кре­п­ле­на эта ось, про­пор­цио­наль­ны зна­че­ни­ям $J_{yz}$ и $J_{zx}$.

Ес­ли ко­ор­ди­нат­ные оси сис­те­мы $Oxyz$ свя­за­ны с са­мим те­лом, то ве­ли­чи­ны $J_x, J_y, J_z, J_{xy}, J_{yz}, J_{zx}$ по­сто­ян­ны. Они об­ра­зу­ют т. н. тен­зор инер­ции те­ла в точ­ке $O$. Для ка­ж­дой точ­ки те­ла, вы­бран­ной за на­ча­ло от­счё­та сис­те­мы $Oxyz$, мож­но ука­зать вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ные оси $x,y,z$, для ко­то­рых $J_{xy}=J_{yz}=J_{zx}= 0$. Та­кие оси на­зы­ва­ют глав­ны­ми ося­ми инер­ции.

В ди­на­ми­ке твёр­до­го те­ла су­ще­ст­ву­ет спец. раз­дел, на­зы­вае­мый гео­мет­ри­ей масс, в ко­то­ром рас­смат­ри­ва­ют­ся М. и. и др. ха­рак­те­ри­сти­ки рас­пре­де­ле­ния масс в те­ле. Оп­ре­де­ле­ние М. и. про­из­воль­но­го те­ла яв­ля­ет­ся слож­ной за­да­чей. В про­стей­ших слу­ча­ях М. и. мо­гут быть вы­чис­ле­ны по при­ве­дён­ным вы­ше фор­му­лам. Напр., М. и. по­ло­го тон­ко­стен­но­го ци­лин­д­ра ра­диу­са $R$ и мас­сы $m$ от­но­си­тель­но оси ци­лин­д­ра ра­вен $mR^2$; М. и. од­но­род­но­го ша­ра ра­диу­са $R$ и мас­сы $m$ от­но­си­тель­но оси, про­хо­дя­щей че­рез центр ша­ра, ра­вен $(2/5)mR^2$; М. и. пря­мо­го тон­ко­го стерж­ня дли­ны $l$ и мас­сы $m$ от­но­си­тель­но оси, пер­пен­ди­ку­ляр­ной стерж­ню и про­хо­дя­щей че­рез его центр, ра­вен $(1/12)ml^2$. М. и. тел слож­ной кон­фи­гу­ра­ции оп­ре­де­ля­ют­ся, как пра­ви­ло, экс­пе­ри­мен­таль­но.

По­ня­тие М. и. ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся при ре­ше­нии мн. за­дач ме­ха­ни­ки и тех­ни­ки (см. Вра­щаю­щий мо­мент, Ки­не­ти­че­ский мо­мент, Ди­на­ми­ка, Ки­не­ти­че­ская энер­гия).