Д’АЛАМБЕ́РА – ЛАГРА́НЖА ПРИ́НЦИП

Д’АЛАМБЕ́РА – ЛАГРА́НЖА ПРИ́НЦИП, один из ос­нов­ных, наи­бо­лее об­щих диф­фе­рен­ци­аль­ных ва­риа­ци­он­ных прин­ци­пов ме­ха­ни­ки, вы­ра­жаю­щий не­об­хо­ди­мые и дос­та­точ­ные ус­ло­вия со­от­вет­ст­вия дей­ст­ви­тель­но­го дви­же­ния ме­ха­нич. сис­те­мы с иде­аль­ны­ми удер­жи­ваю­щи­ми свя­зя­ми за­дан­ным ак­тив­ным си­лам. Ус­та­нов­лен Ж. Ла­гран­жем в 1788 пу­тём обоб­ще­ния Д’Аламбера прин­ци­па и воз­мож­ных пе­ре­ме­ще­ний прин­ци­па.

Со­глас­но Д. – Л. п., из всех дви­же­ний сис­те­мы ма­те­ри­аль­ных то­чек, до­пус­кае­мых иде­аль­ны­ми удер­жи­ваю­щи­ми свя­зя­ми в рас­смат­ри­вае­мый мо­мент вре­ме­ни и про­ис­хо­дя­щих под дей­ст­ви­ем про­из­воль­ных ак­тив­ных сил, дей­ст­ви­тель­ным яв­ля­ет­ся то дви­же­ние, для ко­то­ро­го сум­ма эле­мен­тар­ных ра­бот ак­тив­ных сил $\boldsymbol F_i$ и сил инер­ции $(-m_i \boldsymbol w_i)$ на лю­бых воз­мож­ных пе­ре­ме­ще­ни­ях $\delta \boldsymbol r_i$ то­чек сис­те­мы рав­на ну­лю в лю­бой мо­мент вре­ме­ни: $$\sum_{i=1}^n(\mathbf{F}_i-m_i\boldsymbol w_i)\delta\boldsymbol r_i=0\quad\tag{*}$$ (здесь $m_i$ – мас­са ма­те­ри­аль­ной точ­ки, $w_i$ – её ус­ко­ре­ние, $n$ – чис­ло то­чек сис­те­мы).

Урав­не­ние $(\ast)$ пред­став­ля­ет со­бой об­щее урав­не­ние ме­ха­ни­ки сис­тем с иде­аль­ны­ми удер­жи­ваю­щи­ми свя­зя­ми. Оно спра­вед­ли­во и для свя­зей с тре­ни­ем, ес­ли в чис­ло за­да­вае­мых сил фор­маль­но вклю­чить си­лы тре­ния то­чек сис­те­мы о свя­зи. Мож­но ска­зать, что вся ди­на­ми­ка сис­тем ма­те­ри­аль­ных то­чек сво­дит­ся к од­но­му об­ще­му урав­не­нию $(\ast)$. Ес­ли все $w_i=0$, то урав­не­ние $(\ast)$ яв­ля­ет­ся об­щим урав­не­ни­ем ста­ти­ки.

Из урав­не­ния $(\ast)$ мож­но по­лу­чить как след­ст­вия об­щие тео­ре­мы ди­на­ми­ки (об из­ме­не­нии ко­ли­че­ст­ва дви­же­ния, об из­ме­не­нии мо­мен­та ко­ли­че­ст­ва дви­же­ния сис­те­мы, об из­ме­не­нии ки­не­тич. энер­гии), урав­не­ния дви­же­ния ме­ха­нич. сис­тем в разл. сис­те­мах ко­ор­ди­нат и при разл. пред­по­ло­же­ни­ях от­но­си­тель­но сил и свя­зей (урав­не­ния Ла­гран­жа, Ап­пе­ля и др.).

Д. – Л. п. спра­вед­лив как для го­ло­ном­ных, так и для не­го­ло­ном­ных сис­тем. Все др. ва­риа­ци­он­ные прин­ци­пы ме­ха­ни­ки пред­став­ля­ют со­бой иные фор­му­ли­ров­ки это­го прин­ци­па или след­ст­вия из не­го.