ВАРИАЦИО́ННЫЕ ПРИ́НЦИПЫ МЕХА́НИКИ

ВАРИАЦИО́ННЫЕ ПРИ́НЦИПЫ МЕ­ХА́­НИ­КИ, ос­нов­ные, ис­ход­ные по­ло­же­ния ана­ли­ти­че­ской ме­ха­ни­ки, вы­ра­жен­ные ма­те­ма­ти­че­ски в ви­де ус­ло­вий, ко­то­рые по­зво­ля­ют вы­де­лить ис­тин­ное, т. е. фак­ти­че­ски про­ис­хо­дя­щее под дей­ст­ви­ем за­дан­ных сил, дви­же­ние ме­ха­нич. сис­те­мы из дру­гих ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ных, т. е. до­пус­кае­мых свя­зя­ми ме­ха­ниче­ски­ми, дви­же­ний этой сис­те­мы. В боль­шин­ст­ве слу­ча­ев при­зна­ком, по ко­то­ро­му ис­тин­ное дви­же­ние вы­де­ля­ет­ся из рас­смат­ри­вае­мо­го клас­са ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ных дви­же­ний, слу­жит ус­ло­вие экс­тре­маль­но­сти не­ко­то­рой ска­ляр­ной функ­ции (или функ­цио­на­ла), за­ви­ся­щей от ха­рак­те­ри­стик сис­те­мы.

В. п. м. об­ла­да­ют об­щим свой­ст­вом: из них мо­гут быть по­лу­че­ны диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния дви­же­ния ме­ха­нич. сис­тем (при со­от­вет­ст­вую­щих пред­по­ло­же­ни­ях о ха­рак­те­ре на­ло­жен­ных на сис­те­му свя­зей и дей­ст­вую­щих сил). Дру­ги­ми сло­ва­ми, тот или иной В. п. м. как бы объ­е­ди­ня­ет все по­ло­же­ния ме­хани­ки со­от­вет­ст­вую­щих ма­те­ри­аль­ных сис­тем в еди­ной фор­му­ли­ров­ке. Клас­сич. ме­ха­ни­ка ос­но­вы­ва­ет­ся на за­ко­нах Нью­то­на, ус­та­нов­лен­ных для сво­бод­ных ма­те­ри­аль­ных то­чек, и ак­сио­мах свя­зей. Спра­вед­ли­вость В. п. м. до­ка­зы­ва­ет­ся ис­хо­дя из этих за­ко­нов и ак­си­ом. В свою оче­редь, лю­бой из В. п. м. мож­но при­нять за ак­сио­му и из неё ло­ги­че­ски вы­вес­ти за­ко­ны ме­ха­ни­ки.

В. п. м. раз­ли­ча­ют­ся по фор­ме и спо­со­бам варь­и­ро­ва­ния, а так­же по общ­ности их при­ме­не­ния по от­но­ше­нию к разл. ме­ха­нич. сис­те­мам. По фор­ме они под­раз­де­ля­ют­ся на диф­фе­рен­ци­аль­ные и ин­те­граль­ные прин­ци­пы. Пер­вые да­ют кри­те­рии ис­тин­но­го дви­же­ния для дан­но­го фик­си­ро­ван­но­го мо­мен­та вре­ме­ни, а вто­рые – на ко­неч­ном ин­тер­вале вре­ме­ни. К диф­фе­рен­ци­аль­ным В. п. м. от­но­сят­ся: воз­мож­ных пе­ре­ме­ще­ний прин­цип, Га­ус­са прин­цип (прин­цип наи­мень­ше­го при­ну­ж­де­ния) и тес­но при­мы­каю­щий к не­му Гер­ца прин­цип (прин­цип наи­мень­шей кри­виз­ны), Д’Алам­бе­ра – Ла­гран­жа прин­цип и др. К ин­те­граль­ным В. п. м. от­но­сит­ся наи­мень­шего дей­ст­вия прин­цип, разл. фор­мы ко­то­ро­го от­ли­ча­ют­ся друг от дру­га клас­сом срав­ни­вае­мых ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ных дви­же­ний сис­те­мы и вы­бо­ром не­ко­то­ро­го оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­ла (на­зы­вае­мо­го дей­ст­ви­ем), зна­че­ние ко­то­ро­го срав­ни­ва­ет­ся для ис­тин­но­го и ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ных дви­же­ний.

Диф­фе­рен­ци­аль­ные В. п. м. яв­ля­ют­ся бо­лее об­щи­ми и спра­вед­ли­вы для лю­бых ме­ха­нич. сис­тем, удер­жи­вае­мых иде­аль­ны­ми свя­зя­ми и на­хо­дя­щих­ся под дей­ст­ви­ем про­из­воль­ных сил. Ин­те­граль­ные В. п. м. сфор­му­ли­ро­ва­ны при бо­лее жё­ст­ких пред­по­ло­же­ни­ях от­но­си­тель­но свя­зей и сил: свя­зи долж­ны быть ещё и го­ло­ном­ны­ми, а си­лы – по­тен­ци­аль­ны­ми.

В. п. м. при­ме­ни­мы не толь­ко к дис­крет­ным ма­те­ри­аль­ным сис­те­мам, но и к сис­те­мам с рас­пре­де­лён­ны­ми па­ра­мет­ра­ми, сплош­ным сре­дам; они иг­ра­ют важ­ную роль в тео­рии по­ля и ма­те­ма­тич. фи­зи­ке. В. п. м. рас­про­стра­не­ны и на др. об­лас­ти фи­зи­ки, в ча­ст­но­сти на тео­рию от­но­си­тель­но­сти и кван­то­вую ме­ха­ни­ку.