ГА́УССА ПРИ́НЦИП

ГА́УССА ПРИ́НЦИП (прин­цип наи­мень­ше­го при­ну­ж­де­ния), один из ос­нов­ных, наи­бо­лее об­щих диф­фе­рен­ци­аль­ных ва­риа­ци­он­ных прин­ци­пов ме­ха­ни­ки, вы­ра­жаю­щий экс­тре­маль­ные свой­ст­ва дей­ст­ви­тель­но­го (ис­тин­но­го) дви­же­ния ме­ха­нич. сис­те­мы по срав­не­нию с др. дви­же­ния­ми, ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ны­ми при тех же ус­ло­ви­ях. Пред­ло­жен в 1829 К. Га­ус­сом, ко­то­рый ввёл функ­цию $Z$ (при­ну­ж­де­ние): $$Z=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Nm_i\left(w_i-\frac{F_i}{m_i}\right)^2,$$ где $N$ – чис­ло ма­те­ри­аль­ных то­чек сис­те­мы, $m_i $ и $w_i$ – мас­са и ус­ко­ре­ние $i$-той точ­ки; $F_i$ – рав­но­дей­ст­вую­щая ак­тив­ных сил, при­ло­жен­ных к $i$-той точ­ке.

Г. п. ус­та­нав­ли­ва­ет, что в ка­ж­дый мо­мент вре­ме­ни ис­тин­ное дви­же­ние сис­те­мы с иде­аль­ны­ми свя­зя­ми, на­хо­дя­щей­ся под дей­ст­ви­ем ак­тив­ных сил, от­ли­ча­ет­ся от всех ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ных дви­же­ний, со­вер­шаю­щих­ся из то­го же на­чаль­но­го по­ло­же­ния и с те­ми же на­чаль­ны­ми ско­ро­стя­ми, тем свой­ст­вом, что для ис­тин­но­го дви­же­ния при­ну­ж­де­ние $Z$ яв­ля­ет­ся ми­ни­маль­ным. Ма­те­ма­ти­че­ски это вы­ра­жа­ет­ся ра­вен­ст­вом $δZ=0$, при­чём ва­риа­ция бе­рёт­ся при не­из­ме­няе­мых ко­ор­ди­на­тах и ско­ро­стях то­чек сис­те­мы, т. е. варь­и­ру­ют­ся толь­ко ус­ко­ре­ния.

Ис­поль­зуя урав­не­ния дви­же­ния то­чек сис­те­мы $m_iw_i$$=F_i+R_i $(где $R_i $ – ре­ак­ция свя­зей), функ­цию $Z$ мож­но пред­ста­вить в ви­де:$$Z=\frac{1}{2}\sum_{n=i}^N \frac{R_i^2}{m_i}.$$Ус­ло­вие, что ве­ли­чи­на$Z$ ми­ни­маль­на для дей­ст­ви­тель­но­го дви­же­ния, оз­на­ча­ет экс­тре­маль­ные свой­ст­ва ре­ак­ций свя­зей: для дей­ст­ви­тель­но­го дви­же­ния ре­ак­ции свя­зей ми­ни­маль­ны.

Г. п. эк­ви­ва­лен­тен Д’Аламбера – Ла­гран­жа прин­ци­пу и при­ме­ним как к го­ло­ном­ным, так и к не­го­ло­ном­ным сис­те­мам. Из Г. п. при вы­ра­же­нии функ­ции $Z$ че­рез не­за­ви­си­мые ус­ко­ре­ния сис­те­мы по­лу­ча­ют­ся диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния дви­же­ния сис­те­мы в фор­ме урав­не­ний Ап­пе­ля. К Г. п. тес­но при­мы­ка­ет прин­цип пря­мей­ше­го пу­ти (Гер­ца прин­цип).

Г. п. обоб­щён на сис­те­мы, час­тич­но ос­во­бо­ж­дён­ные от свя­зей, сис­те­мы с не­иде­аль­ны­ми свя­зя­ми, а так­же на управ­ляе­мые ме­ха­нич. сис­те­мы и сплош­ные сре­ды. Г. п. пред­став­ля­ет со­бой фи­зич. ана­ло­гию пред­ло­жен­но­му Га­ус­сом наи­мень­ших квад­ра­тов ме­то­ду, ле­жа­ще­му в ос­но­ве мн. ста­ти­стич. ис­сле­до­ва­ний.