ГА́УССА ПРИ́НЦИП
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ГА́УССА ПРИ́НЦИП (принцип наименьшего принуждения), один из основных, наиболее общих дифференциальных вариационных принципов механики, выражающий экстремальные свойства действительного (истинного) движения механич. системы по сравнению с др. движениями, кинематически возможными при тех же условиях. Предложен в 1829 К. Гауссом, который ввёл функцию $Z$ (принуждение): $$Z=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Nm_i\left(w_i-\frac{F_i}{m_i}\right)^2,$$ где $N$ – число материальных точек системы, $m_i $ и $w_i$ – масса и ускорение $i$-той точки; $F_i$ – равнодействующая активных сил, приложенных к $i$-той точке.
Г. п. устанавливает, что в каждый момент времени истинное движение системы с идеальными связями, находящейся под действием активных сил, отличается от всех кинематически возможных движений, совершающихся из того же начального положения и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения принуждение $Z$ является минимальным. Математически это выражается равенством $δZ=0$, причём вариация берётся при неизменяемых координатах и скоростях точек системы, т. е. варьируются только ускорения.
Используя уравнения движения точек системы $m_iw_i$$=F_i+R_i $(где $R_i $ – реакция связей), функцию $Z$ можно представить в виде:$$Z=\frac{1}{2}\sum_{n=i}^N \frac{R_i^2}{m_i}.$$Условие, что величина$Z$ минимальна для действительного движения, означает экстремальные свойства реакций связей: для действительного движения реакции связей минимальны.
Г. п. эквивалентен Д’Аламбера – Лагранжа принципу и применим как к голономным, так и к неголономным системам. Из Г. п. при выражении функции $Z$ через независимые ускорения системы получаются дифференциальные уравнения движения системы в форме уравнений Аппеля. К Г. п. тесно примыкает принцип прямейшего пути (Герца принцип).
Г. п. обобщён на системы, частично освобождённые от связей, системы с неидеальными связями, а также на управляемые механич. системы и сплошные среды. Г. п. представляет собой физич. аналогию предложенному Гауссом наименьших квадратов методу, лежащему в основе мн. статистич. исследований.