ГЕ́РЦА ПРИ́НЦИП

ГЕ́РЦА ПРИ́НЦИП (прин­цип пря­мей­ше­го пу­ти, прин­цип наи­мень­шей кри­виз­ны), диф­фе­рен­ци­аль­ный ва­риа­ци­он­ный прин­цип ме­ха­ни­ки, слу­жа­щий для вы­де­ле­ния дей­ст­ви­тель­но­го дви­же­ния ме­ха­нич. сис­те­мы со ста­цио­нар­ны­ми свя­зя­ми из всех её ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ных дви­же­ний в слу­чае от­сут­ст­вия ак­тив­ных сил (см. Ва­риа­ци­он­ные прин­ци­пы ме­ха­ни­ки). Пред­ло­жен Г. Р. Гер­цем в 1894.

По­ло­же­ние и дви­же­ние сис­те­мы $N$ ма­те­ри­аль­ных то­чек с ко­ор­ди­на­та­ми $ξ_1,\ldots, ξ_{3N}$ пол­но­стью и од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ют­ся по­ло­же­ни­ем и дви­же­ни­ем изо­бра­жаю­щей точ­ки – точ­ки в $3N$-мер­ном про­стран­ст­ве, имею­щей ко­ор­ди­на­ты $$x_i=\sqrt{\frac{m_i}{M}}ξ_i\,\,\,(i=1,\ldots, 3N),$$ $m_{3ν}=m_{3ν-1}=m_{3ν-2}$ – мас­са $ν$-той точ­ки, $M=\sum_{v=1}^N M_v$ – мас­са сис­те­мы. Г. Р. Герц ввёл по­ня­тие тра­ек­то­рии сис­те­мы, оп­ре­де­ляя её как кри­вую в про­стран­ст­ве $3N$ из­ме­ре­ний, ко­то­рую опи­сы­ва­ет изо­бра­жаю­щая точ­ка. Эле­мент ду­ги $ds$ этой кри­вой и её кри­виз­на $R$ оп­ре­де­ля­ют­ся со­от­но­ше­ния­ми $$ds^2=\sum_{i=1}^{3N} dx_i^2,\, R=\sqrt{\sum_{i=1}^{3N} {\left( \frac{d^2x_i}{ds^2} \right)}^2}.$$Тра­ек­то­рия сис­те­мы, в ка­ж­дой точ­ке ко­то­рой кри­виз­на име­ет наи­мень­шее зна­че­ние по срав­не­нию с кри­виз­ной др. ки­не­ма­ти­че­ски воз­мож­ных тра­ек­то­рий, оп­ре­де­ля­ет пря­мей­ший путь.

Г. п. ус­та­нав­ли­ва­ет, что в ка­ж­дый мо­мент вре­ме­ни из всех дви­же­ний по инер­ции ме­ха­нич. сис­те­мы с иде­аль­ны­ми ста­цио­нар­ны­ми свя­зя­ми, со­вер­шаю­щих­ся из од­но­го и то­го же на­чаль­но­го по­ло­же­ния и с те­ми же на­чаль­ны­ми ско­ро­стя­ми, дей­ст­ви­тель­ным яв­ля­ет­ся то, для ко­то­ро­го дви­же­ние со­от­вет­ст­вую­щей изо­бра­жаю­щей точ­ки про­ис­хо­дит с по­сто­ян­ной ско­ро­стью по пря­мей­ше­му пу­ти.

Г. п. не­по­сред­ст­вен­но вы­те­ка­ет из Га­ус­са прин­ци­па, ес­ли свя­зи, на­ло­жен­ные на сис­те­му, ста­цио­нар­ны и сис­те­ма сво­бод­на от дей­ст­вия ак­тив­ных сил, т. е. дви­жет­ся по инер­ции. Г. п. яв­ля­ет­ся обоб­ще­ни­ем за­ко­на инер­ции Нью­то­на. Г. Р. Герц по­сту­ли­ро­вал этот прин­цип в ка­че­ст­ве осн. за­ко­на раз­ра­бо­тан­ной им ме­ха­ни­ки, в ко­то­рой, в от­ли­чие от ме­ха­ни­ки Нью­то­на, вме­сто по­ня­тия си­лы вве­де­ны пред­став­ле­ния о скры­тых свя­зях, скры­тых мас­сах и скры­тых дви­же­ни­ях.