Э́ЙЛЕРА УРАВНЕ́НИЕ

Э́ЙЛЕРА УРАВНЕ́НИЕ, 1) диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние ви­да$$\sum_{k=0}^n a_kx^k y^{(k)}=f(x),$$где $a_0$,$a_1$,$...$,$a_n$ – по­сто­ян­ные чис­ла; при $x > 0$ это урав­не­ние под­ста­нов­кой $x=e^t$ сво­дит­ся к ли­ней­но­му диф­фе­рен­ци­аль­но­му урав­не­нию с по­сто­ян­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми. Изу­ча­лось Л. Эй­ле­ром (1740).

2) Диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние вида$$\frac{dx}{\sqrt{Y}}+\frac{dy}{\sqrt{Y}}=0,$$где$$X(x)=a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4,\\ Y(y)=a_0y^4+a_1y^3+a_2y^2+a_3y+a_4.$$Л. Эй­лер рас­смат­ри­вал это урав­не­ние в ря­де ра­бот с 1753. Он по­ка­зал, что об­щее ре­ше­ние это­го урав­не­ния име­ет вид $F(x,y)=0$, где $F(x,y)$ – сим­мет­рич­ный мно­го­член 4-й сте­пе­ни от $x$, $y$. Этот ре­зуль­тат по­слу­жил ос­но­вой тео­рии эл­лип­тич. ин­те­гра­лов.

3) Диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right)=0,$$ко­то­ро­му удов­ле­тво­ря­ют экс­тре­ма­ли ин­те­гра­ла$$\int_a^b F(x,y,y')dx.$$Вы­ве­де­но Л. Эй­ле­ром (1744).