ЧИ́СЕЛ ТЕО́РИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ЧИ́СЕЛ ТЕО́РИЯ, наука о целых числах, в которой изучаются вопросы представления натуральных чисел с помощью чисел специального вида, делимость чисел, распределение простых чисел на действительной оси и т. д. Ч. т. возникла из задач арифметики, связанных с умножением и делением целых чисел.
В Древней Греции (6 в. до н. э.) изучалась делимость (см. Деление) чисел натурального ряда, были выделены отд. подклассы целых чисел (напр., простые числа и составные, которые являются произведениями простых), изучалась структура совершенных чисел, было дано решение в целых числах уравнения $x^2+y^2=z^2$, т. е. был указан алгоритм построения прямоугольных треугольников со сторонами, длины которых являются целыми числами. В «Началах» Евклида дано систематич. построение теории делимости на основе Евклида алгоритма для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, доказана первая теорема теории простых чисел – бесконечность множества простых чисел. Несколько позднее Эратосфеном был найден метод получения простых чисел, который стал называться Эратосфена решетом.
Систематизация проблем Ч. т. и методов их решения проведена Диофантом в его «Арифметике», где, в частности, дано решение в рациональных числах мн. алгебраич. уравнений 1-й и 2-й степени с целыми коэффициентами от нескольких неизвестных.
В Китае начиная со 2 в. в связи с календарными расчётами возникла задача определения наименьшего целого числа, дающего при делении на заданные числа заданные остатки, которая была решена кит. математиками Сунь-цзы (3–5 вв.) и Цинь Цзюшао (13 в.).
В Индии Брахмагупта (7 в.) и Бхаскара дали общие методы решения в целых числах неопределённых уравнений 1-й степени с двумя неизвестными и уравнений вида $ax^2+b=cy^2$ и $xy=ax+by+c$.
В Европе расцвет Ч. т. начался с работ П. Ферма. Он исследовал решения мн. уравнений в целых числах, в частности, высказал гипотезу о том, что уравнение $x^2+y2=z2$, $n > 2$, не имеет решения в натуральных числах $x$, $y$, $z$ (Ферма Великая теорема), доказал, что простые числа вида $4n+1$ являются суммами двух квадратов, доказал одно из основных утверждений теории сравнений: $a^p$ – $a$ делится на $p$, если $a$ – целое число, не делящееся на $p$, и $p$ – простое число (Ферма малая теорема).
Исключительно важный вклад в Ч. т. внёс Л. Эйлер. Он доказал Великую теорему Ферма при $n=3$, обобщения малой теоремы Ферма, ряд теорем о представлении чисел квадратичными формами. Эйлер был первым, кто для решения задач Ч. т. привлёк средства математич. анализа, что привело к созданию аналитич. теории чисел. Исследуя вопрос о числе решений уравнений вида $$a_1x_1+...+a_nx_n=N,\tag{1}$$ где $a_1$,$...$,$a_n$ – натуральные числа, в целых неотрицательных числах $x_1$,$...$,$x_n$, он ввёл производящую функцию $Φ(z)=\sum_{k=0}^{\infty} μ(k)z^k$ где $μ(k)$ – число решений (1) при $N=k$, $∣z∣ < 1$, которая связана с функциями $$Φ_1(z)=\frac{1}{1-z^{a_1}}=\sum_{k=0}^{\infty} z^{a_1k},...,\\Φ_n=\frac{1}{1-z^{a_n}}=\sum_{k=0}^{\infty} z^{a_nk},$$ $∣z∣ < 1$, равенством $Φ(z)=Φ_1(z)·...·Φ_n(z)$. Зная функцию $Φ(z)$, легко получить значения $μ(N)$, напр., дифференцируя $Φ(z)$: $μ(N)=Φ^{(N)}(0)/N!$. Производящие функции Эйлера явились источником т. н. кругового метода Харди – Литлвуда – Рамануджана и Виноградова метода – осн. методов совр. аддитивной теории чисел, теории, в которой изучаются задачи Ч. т., связанные с представлением чисел в виде сумм.
Дзета-функция, введённая Эйлером, и её обобщения составляют основу совр. аналитич. методов исследования проблем простых чисел распределения, большой вклад в исследование которых внёс П. Л. Чебышев.
К. Гаусс создал осн. методы и завершил построение теории сравнений, доказал т. н. закон взаимности квадратичных вычетов, сформулированный Л. Эйлером, заложил основы теории представления чисел квадратичными формами вида $ax^2+bxy+cy^2$ и формами высших степеней со многими переменными, ввёл т. н. Гауссовы суммы $$\sum^{m-1}_{n=0} e^{2πi\frac{an^2}{m}}$$ которые явились первыми тригонометрич. суммами в Ч. т., и показал их полезность в решении задач. Если до Гаусса Ч. т. представляла собой собрание отд. результатов и идей, то после его работ она стала развиваться в разл. направлениях как стройная теория.
К. Гаусс и П. Дирихле первыми стали рассматривать вопросы о количестве точек с целочисленными координатами в областях на плоскости. Гаусс доказал, что число таких точек в круге $x^2+y^2 ⩽ R^2$ равно сумме площади этого круга $πR^2$ и величины, которая при увеличении $R$ растёт не быстрее первой степени $R$, а Дирихле доказал, что число таких точек с положительными координатами под гиперболой $xy=N$ равно сумме $N(\ln N+2C-1)$, где $C$ – Эйлера постоянная, и величины, которая при увеличении $N$ растёт не быстрее $\sqrt{N}$. Обобщения этих утверждений, а также нахождение наилучших возможных остатков в этих суммах (проблема Гаусса целых точек в круге и проблема делителей Дирихле) послужили источником большой главы теории чисел.
Вместе с изучением свойств целых чисел в 19 в. возникло и стало развиваться новое направление в Ч. т., изучающее арифметику числовой прямой. Уже Л. Эйлер отмечал, что квадратные корни из целых чисел и логарифмы целых чисел принципиально отличаются друг от друга. Последнее обстоятельство обрело точную формулировку после работ Ж. Лиувилля (1844), который ввёл понятия алгебраических чисел и трансцендентных чисел. Оказывается, что алгебраич. числа «плохо» приближаются рациональными дробями. Лиувилль доказал, что если алгебраич. число является корнем уравнения степени $n$, то, приближаясь к нему дробями вида $p/q$, где $p$ и $q$ – целые взаимно простые числа, подойти существенно ближе, чем $q^{–n}$, нельзя. Вопросы об алгебраичности и трансцендентности конкретных чисел довольно трудны; первыми были такие вопросы о числах π и $e$; трансцендентность числа $e$ доказана Ш. Эрмитом (1873), числа $π$ – нем. учёным Ф. Линдеманом (1882), таким образом была решена задача о квадратуре круга. После работ Лиувилля и Э. Куммера стала развиваться алгебраич. Ч. т., в которой исследуются также расширения поля рациональных чисел, отличные от множества действительных чисел (см. Число).
В 20 в. в Ч. т. стали развиваться новые разделы, напр. метрическая Ч. т., в которой используются понятия теории меры, и вероятностная Ч. т., в которой используются понятия и методы теории вероятностей.
Особенностью и привлекательностью Ч. т. является простота и доступность формулировок большинства проблем и трудность их решения. Напр., проблема близнецов, т. е. задача о том, конечно или нет множество пар простых чисел, для которых разность равна двум, была поставлена ещё Евклидом, но до сих пор (2017) не решена. См. также Варинга проблема, Гольдбаха проблема.