ЧИ́СЕЛ ТЕО́РИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ЧИ́СЕЛ ТЕО́РИЯ, наука о целых числах, в которой изучаются вопросы представления натуральных чисел с помощью чисел специального вида, делимость чисел, распределение простых чисел на действительной оси и т. д. Ч. т. возникла из задач арифметики, связанных с умножением и делением целых чисел.
В Древней Греции (6 в. до н. э.) изучалась делимость (см. Деление) чисел натурального ряда, были выделены отд. подклассы целых чисел (напр., простые числа и составные, которые являются произведениями простых), изучалась структура совершенных чисел, было дано решение в целых числах уравнения x2+y2=z2, т. е. был указан алгоритм построения прямоугольных треугольников со сторонами, длины которых являются целыми числами. В «Началах» Евклида дано систематич. построение теории делимости на основе Евклида алгоритма для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, доказана первая теорема теории простых чисел – бесконечность множества простых чисел. Несколько позднее Эратосфеном был найден метод получения простых чисел, который стал называться Эратосфена решетом.
Систематизация проблем Ч. т. и методов их решения проведена Диофантом в его «Арифметике», где, в частности, дано решение в рациональных числах мн. алгебраич. уравнений 1-й и 2-й степени с целыми коэффициентами от нескольких неизвестных.
В Китае начиная со 2 в. в связи с календарными расчётами возникла задача определения наименьшего целого числа, дающего при делении на заданные числа заданные остатки, которая была решена кит. математиками Сунь-цзы (3–5 вв.) и Цинь Цзюшао (13 в.).
В Индии Брахмагупта (7 в.) и Бхаскара дали общие методы решения в целых числах неопределённых уравнений 1-й степени с двумя неизвестными и уравнений вида ax2+b=cy2 и xy=ax+by+c.
В Европе расцвет Ч. т. начался с работ П. Ферма. Он исследовал решения мн. уравнений в целых числах, в частности, высказал гипотезу о том, что уравнение x2+y2=z2, n>2, не имеет решения в натуральных числах x, y, z (Ферма Великая теорема), доказал, что простые числа вида 4n+1 являются суммами двух квадратов, доказал одно из основных утверждений теории сравнений: ap – a делится на p, если a – целое число, не делящееся на p, и p – простое число (Ферма малая теорема).
Исключительно важный вклад в Ч. т. внёс Л. Эйлер. Он доказал Великую теорему Ферма при n=3, обобщения малой теоремы Ферма, ряд теорем о представлении чисел квадратичными формами. Эйлер был первым, кто для решения задач Ч. т. привлёк средства математич. анализа, что привело к созданию аналитич. теории чисел. Исследуя вопрос о числе решений уравнений вида a1x1+...+anxn=N, где a1,...,an – натуральные числа, в целых неотрицательных числах x1,...,xn, он ввёл производящую функцию Φ(z)=\sum_{k=0}^{\infty} μ(k)z^k где μ(k) – число решений (1) при N=k, ∣z∣ < 1, которая связана с функциями Φ_1(z)=\frac{1}{1-z^{a_1}}=\sum_{k=0}^{\infty} z^{a_1k},...,\\Φ_n=\frac{1}{1-z^{a_n}}=\sum_{k=0}^{\infty} z^{a_nk}, ∣z∣ < 1, равенством Φ(z)=Φ_1(z)·...·Φ_n(z). Зная функцию Φ(z), легко получить значения μ(N), напр., дифференцируя Φ(z): μ(N)=Φ^{(N)}(0)/N!. Производящие функции Эйлера явились источником т. н. кругового метода Харди – Литлвуда – Рамануджана и Виноградова метода – осн. методов совр. аддитивной теории чисел, теории, в которой изучаются задачи Ч. т., связанные с представлением чисел в виде сумм.
Дзета-функция, введённая Эйлером, и её обобщения составляют основу совр. аналитич. методов исследования проблем простых чисел распределения, большой вклад в исследование которых внёс П. Л. Чебышев.
К. Гаусс создал осн. методы и завершил построение теории сравнений, доказал т. н. закон взаимности квадратичных вычетов, сформулированный Л. Эйлером, заложил основы теории представления чисел квадратичными формами вида ax^2+bxy+cy^2 и формами высших степеней со многими переменными, ввёл т. н. Гауссовы суммы \sum^{m-1}_{n=0} e^{2πi\frac{an^2}{m}} которые явились первыми тригонометрич. суммами в Ч. т., и показал их полезность в решении задач. Если до Гаусса Ч. т. представляла собой собрание отд. результатов и идей, то после его работ она стала развиваться в разл. направлениях как стройная теория.
К. Гаусс и П. Дирихле первыми стали рассматривать вопросы о количестве точек с целочисленными координатами в областях на плоскости. Гаусс доказал, что число таких точек в круге x^2+y^2 ⩽ R^2 равно сумме площади этого круга πR^2 и величины, которая при увеличении R растёт не быстрее первой степени R, а Дирихле доказал, что число таких точек с положительными координатами под гиперболой xy=N равно сумме N(\ln N+2C-1), где C – Эйлера постоянная, и величины, которая при увеличении N растёт не быстрее \sqrt{N}. Обобщения этих утверждений, а также нахождение наилучших возможных остатков в этих суммах (проблема Гаусса целых точек в круге и проблема делителей Дирихле) послужили источником большой главы теории чисел.
Вместе с изучением свойств целых чисел в 19 в. возникло и стало развиваться новое направление в Ч. т., изучающее арифметику числовой прямой. Уже Л. Эйлер отмечал, что квадратные корни из целых чисел и логарифмы целых чисел принципиально отличаются друг от друга. Последнее обстоятельство обрело точную формулировку после работ Ж. Лиувилля (1844), который ввёл понятия алгебраических чисел и трансцендентных чисел. Оказывается, что алгебраич. числа «плохо» приближаются рациональными дробями. Лиувилль доказал, что если алгебраич. число является корнем уравнения степени n, то, приближаясь к нему дробями вида p/q, где p и q – целые взаимно простые числа, подойти существенно ближе, чем q^{–n}, нельзя. Вопросы об алгебраичности и трансцендентности конкретных чисел довольно трудны; первыми были такие вопросы о числах π и e; трансцендентность числа e доказана Ш. Эрмитом (1873), числа π – нем. учёным Ф. Линдеманом (1882), таким образом была решена задача о квадратуре круга. После работ Лиувилля и Э. Куммера стала развиваться алгебраич. Ч. т., в которой исследуются также расширения поля рациональных чисел, отличные от множества действительных чисел (см. Число).
В 20 в. в Ч. т. стали развиваться новые разделы, напр. метрическая Ч. т., в которой используются понятия теории меры, и вероятностная Ч. т., в которой используются понятия и методы теории вероятностей.
Особенностью и привлекательностью Ч. т. является простота и доступность формулировок большинства проблем и трудность их решения. Напр., проблема близнецов, т. е. задача о том, конечно или нет множество пар простых чисел, для которых разность равна двум, была поставлена ещё Евклидом, но до сих пор (2017) не решена. См. также Варинга проблема, Гольдбаха проблема.