КВАДРАТУ́РА КРУ́ГА

КВАДРАТУ́РА КРУ́ГА, за­да­ча о по­строе­нии квад­ра­та, пло­щадь ко­то­ро­го рав­на пло­ща­ди дан­но­го кру­га. Тра­ди­ци­он­ны­ми сред­ст­ва­ми ре­ше­ния за­дач на по­строе­ние яв­ля­ют­ся цир­куль и ли­ней­ка. Ма­тема­ти­ки древ­но­сти зна­ли ряд слу­ча­ев, ко­гда с по­мо­щью этих ин­ст­ру­мен­тов уда­ёт­ся пре­об­ра­зо­вать кри­во­ли­ней­ную фи­гу­ру в рав­но­ве­ли­кую ей пря­мо­уголь­ную, но за­да­ча о К. к. не под­да­ва­лась ре­ше­нию. В 1775 Па­риж­ская АН, а за­тем и др. ака­де­мии ста­ли от­ка­зы­вать­ся от рас­смот­ре­ния ра­бот, по­свя­щён­ных квад­ра­ту­ре кру­га.

Пусть ра­ди­ус дан­но­го кру­га ра­вен $r$, то­гда сто­ро­на рав­но­ве­ли­ко­го это­му кру­гу квад­ра­та есть $x=r \sqrt{\pi}$. Т. о., для ре­ше­ния за­да­чи о К. к. нуж­но по­стро­ить от­ре­зок $r \sqrt{\pi}$, т. е. гра­фи­че­ски ум­но­жить $r$ на $\sqrt{\pi}$. Для не­ко­то­рых ир­ра­цио­наль­ных мно­жи­те­лей та­кое ум­но­же­ние вы­пол­ни­мо. Так, $r \sqrt{2}$ – диа­го­наль квад­рата со сто­ро­ной $r$, $r \sqrt{2- \sqrt{3}}$ – сто­ро­на пра­виль­но­го 12-уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в круг ра­диу­са $r$. По­строе­ние этих от­рез­ков мож­но вы­пол­нить с по­мо­щью цир­ку­ля и ли­ней­ки. К. к. свя­за­на с ариф­ме­тич. при­ро­дой чис­ла $\pi$. В кон. 18 в. И. Лам­бер­том и А. Ле­жан­дром бы­ла ус­та­нов­ле­на ир­ра­цио­наль­ность чис­ла $\pi$. В 1882 нем. ма­те­ма­тик Ф. Лин­де­ман до­ка­зал транс­цен­дент­ность чис­ла $\pi$ (а сле­до­ва­тель­но, и $\sqrt{\pi}$, см. Транс­цен­дент­ное чис­ло), т. е. $\pi$ не удов­ле­тво­ря­ет ни­ка­ко­му ал­геб­ра­ич. урав­не­нию с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, по­это­му за­да­ча о К. к. не­раз­ре­ши­ма с по­мо­щью цир­ку­ля и ли­ней­ки. Она ста­но­вит­ся раз­ре­ши­мой, ес­ли рас­ши­рить сред­ст­ва по­строе­ния. Так, уже гео­мет­рам Древ­ней Гре­ции бы­ло из­вест­но, что К. к. мож­но осу­ще­ст­вить, ис­поль­зуя не­ко­то­рые транс­цен­дент­ные кри­вые; пер­вое та­кое ре­ше­ние бы­ло най­де­но Ди­но­ст­ра­том (4 в. до н. э.).