ТРАНСЦЕНДЕ́НТНОЕ ЧИСЛО́

ТРАНСЦЕНДЕ́НТНОЕ ЧИСЛО́, чис­ло, не яв­ляю­щее­ся кор­нем мно­го­чле­на с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми. Да­лее рас­смат­ри­ва­ют­ся толь­ко дей­ст­ви­тель­ные Т. ч. Су­ще­ст­во­ва­ние та­ких Т. ч. обос­но­вал Ж. Лиу­вилль (1844) на ос­но­ве за­ме­чен­но­го им фак­та: ир­ра­цио­наль­ные ал­геб­раи­че­ские чис­ла не до­пус­ка­ют «очень силь­ных» при­бли­же­ний ир­ра­цио­наль­ны­ми чис­ла­ми; он же дал по­строе­ние не­ко­то­рых Т. ч. Г. Кан­тор (1883) об­на­ру­жил счёт­ность мно­же­ст­ва всех ал­геб­ра­ич. чи­сел и не­счёт­ность мно­же­ст­ва всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел; этим он до­ка­зал, что дей­стви­тель­ные Т. ч. об­ра­зу­ют мно­же­ст­во мощ­но­сти кон­ти­ну­ум. Э. Бо­рель (1898), вве­дя пер­вые по­ня­тия тео­рии ме­ры, ус­та­но­вил, что «поч­ти все» дей­ст­ви­тель­ные чис­ла транс­цен­дент­ны, од­на­ко до­ка­за­тель­ст­во то­го, что дан­ное чис­ло яв­ля­ет­ся транс­цен­дент­ным, со­став­ля­ет очень труд­ную за­да­чу. Транс­цен­дент­ность чис­ла e до­ка­зал Ш. Эр­мит (1873). Транс­цен­дент­ность чис­ла π и ло­га­риф­мов ал­геб­ра­ич. чи­сел до­ка­зал нем. ма­те­ма­тик Ф. Лин­де­ман (1882). Транс­цен­дент­ность чис­ла $2^{\sqrt{2}}$ до­ка­зал А. О. Гель­фонд (1929). Гель­фонд и нем. ма­те­ма­тик Т. Шнай­дер од­но­вре­мен­но (1934) и не­за­ви­си­мо до­ка­за­ли, что α^β транс­цен­дент­но при ал­геб­раи­че­ском α, от­лич­ном от 0 и 1, и ал­геб­раи­че­ском ир­ра­цио­наль­ном β (ре­шив тем са­мым седь­мую про­бле­му Гиль­бер­та).