АЛГЕБРАИ́ЧЕСКОЕ ЧИСЛО́

АЛГЕБРАИ́ЧЕСКОЕ ЧИСЛО́, чис­ло $α$, удов­ле­тво­ряю­щее урав­не­нию $f(x)=0$, где $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n–1}+\ldots+a_1x+a_0=0.$$ $n, a_n, a_{n–1},\ldots, a_1, a_0$ – це­лые чис­ла, $n⩾1, a_n≠0$, наи­боль­ший об­щий де­ли­тель чи­сел $a_n, a_{n-1},\ldots, a_1, a_0$ ра­вен едини­це; др. сло­ва­ми, $f(α)=0$, т. е. $α$ яв­ля­ет­ся кор­нем мно­го­чле­на $f(x)$. При­ме­ры А. ч.: $$α_1=\sqrt[3]2, f(x)=x^3-2,\\ α_2=\sqrt 3+1, f(x)=x^2-2x-2,\\ α_3=i, f(x)=x^2+1.$$

Лю­бое ра­цио­наль­ное чис­ло $α=b/a$, где $a$ и $b$ – це­лые чис­ла, $a≠0$, яв­ля­ет­ся ал­геб­раи­че­ским, т. к. оно – ко­рень мно­го­чле­на $f(x)=ax-b$. Сте­пе­нью А. ч. $α$ на­зы­ва­ет­ся наи­мень­шая из сте­пе­ней всех не рав­ных то­ж­де­ст­вен­но ну­лю мно­го­чле­нов с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, имею­щих $α$ сво­им кор­нем. В при­ве­дён­ных при­ме­рах чис­ло $α_1$ име­ет сте­пень 3, а чис­ла $α_2$ и $α_3$ – сте­пень 2. Ра­цио­наль­ные чис­ла и толь­ко они име­ют сте­пень 1. Дей­ст­ви­тель­ное или ком­плекс­ное чис­ло $α$ на­зы­ва­ет­ся транс­цен­дент­ным, ес­ли оно не яв­ля­ет­ся ал­геб­раи­че­ским. Т. о., транс­цен­дент­ное чис­ло не мо­жет быть кор­нем ни­ка­ко­го мно­го­чле­на $f(x)$ с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, $f(x)≢0$. Т. к. мно­же­ст­во всех мно­го­чле­нов с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми счёт­но, то и мно­же­ст­во А. ч. счёт­но. Мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел не­счёт­но (тео­ре­ма Кан­то­ра), т. е. поч­ти все дей­ст­ви­тель­ные чис­ла транс­цен­дент­ны. Од­на­ко до­ка­за­тель­ст­во транс­цен­дент­но­сти кон­крет­но­го чис­ла час­то ока­зы­ва­ет­ся труд­ной за­да­чей, и для до­ка­за­тель­ст­ва транс­цен­дент­но­сти раз­ра­бо­та­ны спе­ци­аль­ные ана­ли­тич. ме­то­ды.

А. ч. пло­хо при­бли­жа­ют­ся ра­цио­наль­ны­ми чис­ла­ми; напр., спра­вед­ли­ва сле­дую­щая тео­ре­ма Лиу­вил­ля: ес­ли $α$ – дей­ст­ви­тель­ное А. ч. сте­пе­ни $n, n⩾2$, то су­ще­ст­ву­ет по­ло­жи­тель­ное чис­ло $C$, за­ви­ся­щее толь­ко от $α$, та­кое, что при лю­бых це­лых чис­лах $p$ и $q, q>0$, вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ст­во: $$|α-p/q| \gt Cq^{-n}.$$

Из этой тео­ре­мы, в ча­ст­но­сти, сле­ду­ет, что чис­ла $α$ ви­да $$α=\sum _{n=1}^{\infty}a^{-n!},$$где це­лое чис­ло $a⩾2$ (чис­ла Лиу­вил­ля), яв­ля­ют­ся транс­цен­дент­ны­ми.

Ес­ли $α$ – А. ч. сте­пе­ни $n$ и, кро­ме то­го, мно­го­член $f(x)$ сте­пе­ни $n$, кор­нем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся α, име­ет стар­ший ко­эф. $a_n=1$, то $α$ на­зы­ва­ет­ся це­лым А. ч. По­строе­на ариф­ме­ти­ка А. ч., по­хо­жая на обыч­ную ариф­ме­ти­ку це­лых чи­сел, но име­ют­ся и прин­ци­пи­аль­ные от­ли­чия от по­след­ней. В ча­ст­но­сти, в не­ко­то­рых слу­ча­ях в та­кой ариф­ме­ти­ке не вы­пол­ня­ет­ся тео­ре­ма об од­но­знач­ном раз­ло­же­нии це­лых чи­сел на про­стые сомножи­те­ли. А. ч. на­хо­дят при­ме­не­ния в тео­рии дио­фан­то­вых урав­не­ний.