ВА́РИНГА ПРОБЛЕ́МА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ВА́РИНГА ПРОБЛЕ́МА, проблема о представимости каждого целого положительного числа суммой ограниченного числа одних и тех же степеней целых неотрицательных чисел. В. п. сформулирована Э. Варингом (1770) в следующем виде: доказать, что каждое натуральное число является суммой не более четырёх квадратов, девяти кубов, девятнадцати биквадратов и т. д. Совр. формулировка В. п.: при любом натуральном числе $n \geq 2$ существует натуральное число $k = k(n)$ такое, что каждое натуральное число $N$ представляется суммой $k$ слагаемых вида $x^n$, где $x$ – неотрицательное целое число. Это утверждение обобщает теорему Лагранжа о том, что каждое натуральное число есть сумма четырёх квадратов целых чисел (1770). В общем виде, т. е. при любом $n \geq 2$, решение В. п. получено Д. Гильбертом (1909). Частные решения В. п. (при $n \leq 10$) были известны до 1909. В 1920 новое решение В. п., отличное от решения Гильберта, дали Г. Харди и Дж. Литлвуд на основе созданного ими (совм. с С. Рамануджаном) кругового метода. В 1934 И. М. Виноградов на основе своего метода тригонометрич. сумм получил близкие к окончательным ответы на вопросы, поставленные Харди и Литлвудом о поведении функции $k = k(n)$.