ВА́РИНГА ПРОБЛЕ́МА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ВА́РИНГА ПРОБЛЕ́МА, проблема о представимости каждого целого положительного числа суммой ограниченного числа одних и тех же степеней целых неотрицательных чисел. В. п. сформулирована Э. Варингом (1770) в следующем виде: доказать, что каждое натуральное число является суммой не более четырёх квадратов, девяти кубов, девятнадцати биквадратов и т. д. Совр. формулировка В. п.: при любом натуральном числе n≥2 существует натуральное число k=k(n) такое, что каждое натуральное число N представляется суммой k слагаемых вида xn, где x – неотрицательное целое число. Это утверждение обобщает теорему Лагранжа о том, что каждое натуральное число есть сумма четырёх квадратов целых чисел (1770). В общем виде, т. е. при любом n≥2, решение В. п. получено Д. Гильбертом (1909). Частные решения В. п. (при n≤10) были известны до 1909. В 1920 новое решение В. п., отличное от решения Гильберта, дали Г. Харди и Дж. Литлвуд на основе созданного ими (совм. с С. Рамануджаном) кругового метода. В 1934 И. М. Виноградов на основе своего метода тригонометрич. сумм получил близкие к окончательным ответы на вопросы, поставленные Харди и Литлвудом о поведении функции k=k(n).