«НАЧА́ЛА» ЕВКЛИ́ДА

«НАЧА́ЛА» ЕВКЛИ́ДА (Στοιχεῖα), на­пи­сан­ное Евк­ли­дом в 3 в. до н. э. со­чи­не­ние, со­дер­жа­щее ос­но­вы ан­тич­ной ма­те­ма­ти­ки. В «Н.» Е. рас­смат­ри­ва­лись во­про­сы эле­мен­тар­ной гео­мет­рии, тео­рии чи­сел, ал­геб­ры, об­щей тео­рии от­но­ше­ний и ме­тод оп­ре­де­ле­ния пло­ща­дей и объ­ё­мов, вклю­чаю­щий эле­мен­ты тео­рии пре­де­лов. Евк­лид под­вёл ито­ги 300-лет­не­го раз­ви­тия греч. ма­те­ма­ти­ки и за­ло­жил фун­да­мент для даль­ней­ших ма­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ний. «Н.» Е. не яв­ля­ют­ся, од­на­ко, эн­цик­ло­пе­ди­ей ма­те­ма­тич. зна­ний сво­ей эпо­хи. Так, в «Н.» Е. не из­ла­га­лась тео­рия ко­нич. се­че­ний, ко­то­рая бы­ла то­гда уже дос­та­точ­но раз­ви­та, от­сут­ст­во­ва­ли вы­чис­лит. ме­то­ды.

«Н.» Е. по­строе­ны по де­дук­тив­ной сис­те­ме: сна­ча­ла при­во­дят­ся оп­ре­де­ле­ния, по­сту­ла­ты и ак­сио­мы, за­тем фор­му­ли­ров­ки тео­рем и их до­ка­за­тель­ст­ва (см. Де­дук­ция). Вслед за оп­ре­де­ле­ни­ем ос­нов­ных гео­мет­рич. по­ня­тий и объ­ек­тов (напр., точ­ки, пря­мой) Евк­лид до­ка­зы­ва­ет су­ще­ст­во­ва­ние ос­таль­ных объ­ек­тов гео­мет­рии (напр., рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка) пу­тём их по­строе­ния, ко­то­рое вы­пол­ня­ет­ся на ос­но­ва­нии пя­ти по­сту­ла­тов. В по­сту­ла­тах ут­вер­жда­ет­ся воз­мож­ность вы­пол­не­ния не­ко­то­рых эле­мен­тар­ных по­строе­ний, напр. что «от вся­кой точ­ки до вся­кой точ­ки (мож­но) про­вес­ти пря­мую ли­нию» (I по­сту­лат) и что «от вся­ко­го цен­тра и вся­ким рас­тво­ром (мо­жет быть) опи­сан круг» (III по­сту­лат). Осо­бое ме­сто за­ни­ма­ет V по­сту­лат, ина­че – ак­сио­ма о па­рал­лель­ных (см. Гео­мет­рия, Пя­тый по­сту­лат). По­сле по­сту­ла­тов в «Н.» Е. при­во­дят­ся ак­сио­мы – пред­ло­же­ния о свой­ст­вах от­но­ше­ний ра­вен­ст­ва и не­ра­вен­ст­ва ме­ж­ду ве­ли­чи­на­ми.

На про­тя­же­нии бо­лее 2 тыс. лет «Н.» Е. яв­ля­лись об­раз­цом на­уч. стро­го­сти. С совр. точ­ки зре­ния сис­те­ма ак­си­ом и по­сту­ла­тов «Н.» Е. не­дос­та­точ­на для де­дук­тив­но­го по­строе­ния гео­мет­рии. Ло­гич. не­дос­тат­ки по­строе­ния «Н.» Е. пол­но­стью вы­яс­ни­лись в кон. 19 в. по­сле ра­бот Д. Гиль­бер­та.

«Н.» Е. со­сто­ят из 13 книг. В кн. I рас­смат­ри­ва­ют­ся осн. свой­ст­ва тре­уголь­ни­ков, пря­мо­уголь­ни­ков, па­рал­ле­ло­грам­мов и про­из­во­дит­ся срав­не­ние их пло­ща­дей. Кни­га за­кан­чи­ва­ет­ся Пи­фа­го­ра тео­ре­мой. В кн. II из­ла­га­ет­ся т. н. гео­мет­рич. ал­геб­ра, т. е. стро­ит­ся гео­мет­рич. ап­па­рат для ре­ше­ния за­дач, сво­дя­щих­ся к квад­рат­ным урав­не­ни­ям (ал­геб­ра­ич. сим­во­ли­ки в «Н.» Е. не бы­ло). В кн. III рас­смат­ри­ва­ют­ся свой­ст­ва кру­га, его ка­са­тель­ных и хорд, в кн. IV – пра­виль­ные мно­го­уголь­ни­ки. В кн. V да­ёт­ся об­щая тео­рия про­пор­ций, соз­дан­ная Ев­док­сом Книд­ским; её мож­но рас­смат­ри­вать как про­об­раз тео­рии дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, раз­ра­бо­тан­ной во 2-й пол. 19 в. Об­щая тео­рия про­пор­ций яв­ля­ет­ся ос­но­вой уче­ния о по­до­бии (кн. VI) и ме­то­да ис­чер­пы­ва­ния (кн. VII). В кни­гах VII–IX из­ло­же­ны на­ча­ла тео­рии чи­сел, ос­но­ван­ные на ал­го­рит­ме на­хо­ж­де­ния наи­боль­ше­го об­ще­го де­ли­те­ля (Евк­ли­да ал­го­ритм). В эти кни­ги вхо­дит тео­рия де­ли­мо­сти, вклю­чая тео­ре­мы об од­но­знач­но­сти раз­ло­же­ния це­ло­го чис­ла на про­стые мно­жи­те­ли и о бес­ко­неч­но­сти чис­ла про­стых чи­сел; здесь так­же из­ла­га­ет­ся уче­ние об от­но­ше­ни­ях це­лых чи­сел, эк­ви­ва­лент­ное, по су­ще­ст­ву, тео­рии по­ло­жи­тель­ных ра­цио­наль­ных чи­сел. В кн. Х да­ёт­ся клас­си­фи­ка­ция квад­ра­тич­ных и би­квад­ра­тич­ных ир­ра­цио­наль­но­стей и обос­но­вы­ва­ют­ся не­ко­то­рые пра­ви­ла их пре­об­ра­зо­ва­ния. Ре­зуль­та­ты кн. Х при­ме­ня­ют­ся в кн. XIII для на­хо­ж­де­ния длин рё­бер пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ков. В кн. XI из­ла­га­ют­ся ос­но­вы сте­рео­мет­рии. В кн. XII с по­мо­щью ис­чер­пы­ва­ния ме­то­да оп­ре­де­ля­ют­ся от­но­ше­ния пло­ща­дей двух кру­гов и от­но­ше­ния объ­ё­мов пи­ра­ми­ды и приз­мы, ко­ну­са и ци­лин­д­ра. В кн. XIII оп­ре­де­ля­ет­ся от­но­ше­ние объ­ё­мов двух ша­ров, стро­ят­ся 5 пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ков и до­ка­зы­ва­ет­ся, что др. пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ков не су­ще­ству­ет. Позд­нее греч. ма­те­ма­ти­ка­ми к «Н.» Е. бы­ли при­сое­ди­не­ны кни­ги XIV и XV, не при­над­ле­жав­шие Евк­ли­ду.

«Н.» Е. по­лу­чи­ли ши­ро­кую из­вест­ность уже в древ­но­сти. Ар­хи­мед, Апол­ло­ний Перг­ский и др. учё­ные опи­ра­лись на них в сво­их ис­сле­до­ва­ни­ях по ма­те­ма­ти­ке и ме­ха­ни­ке. До на­ше­го вре­ме­ни ан­тич­ный текст «Н.» Е. не до­шёл (древ­ней­шая из со­хра­нив­ших­ся ко­пий от­но­сит­ся ко 2-й пол. 9 в.). В кон. 8 – нач. 9 вв. поя­ви­лись пе­ре­во­ды «Н.» Е. на араб. язык. Пер­вый пе­ре­вод с араб­ско­го на лат. язык был сде­лан в 1-й четв. 12 в. Пер­вое пе­чат­ное из­да­ние «Н.» Е. поя­ви­лось в Ве­не­ции в 1482. Од­ним из луч­ших счи­та­ет­ся из­да­ние И. Гей­бер­га («Euclidis Elementa», vol. 1–5, 1883–1888), в ко­то­ром при­во­дит­ся как греч. текст, так и его лат. пе­ре­вод. На рус. язы­ке «Н.» Е. из­да­ва­лись мно­го­крат­но на­чи­ная с 18 в.