АРИФМЕ́ТИКА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
АРИФМЕ́ТИКА (от греч. ἀριϑμός – число), раздел математики, предметом которого являются числа, в первую очередь целые. Арифметич. исследования послужили базой для мн. разделов математики. А. возникла и развивалась в странах Древнего Востока: Египте (см. Папирусы математические), Вавилоне (см. Клинописные математические тексты), Китае, Индии, позднее в Древней Греции из практич. потребностей хозяйств. деятельности, торговли и в связи с задачами измерения расстояний, времени, площадей, а также с астрономич. расчётами.
Древние греки делали различие между теоретич. наукой А. и искусством выполнения вычислений – логистикой. Примерно с нач. 16 в. назв. «А.» стало применяться к обеим дисциплинам. Позднее оно закрепилось также за школьным предметом, посвящённым свойствам целых и рациональных чисел и правилам выполнения над ними арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления. В России слово «А.» вошло в употребление после появления первого русского печатного учебника математики, изданного в 1703 Л. Ф. Магницким. Иногда говорят об элементарной А., отличая её от высшей А., которая составляет часть чисел теории. Эта классификация достаточно условна.
Одним из первых вопросов элементарной А. был вопрос о записи чисел. Наиболее распространённой является т. н. позиционная десятичная система записи натуральных (т. е. целых положительных) чисел. Для записи натуральных чисел используются десять знаков-цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. При этом имеет значение место (позиция) цифры в ряду других цифр, записывающих число. Запись $a_n...a_1a_0$, где $a_n,...,a_1, a_0$ – цифры и $a_n ≠ 0$, обозначает целое число, состоящее из $a_0$ единиц, $a_1$ десятков и т. д., т. е. число $a_n10^n + … + a_110 + a_0$. Число 10 называется основанием десятичной системы счисления. Применяются и др. позиционные системы. Напр., в двоичной системе используются два знака 0 и 1.
Если ненулевые целые числа $a, b, c$ связаны равенством $ac = b$, то говорят, что число $b$ делится на $a$. Число $a$ называется делителем $b$. Запись $a{∣}b$ означает, что число $b$ делится на $a$. Нуль делится на любое целое число $a ≠ 0$. Запись $ab$ означает, что $b$ не делится на $a$. Известны разл. признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления. Так, число делится на 3 или на 9, если сумма цифр в его записи делится на 3 или на 9, число делится на 2 или на 5, если его последняя цифра делится на 2 или на 5; число $a_n...a_1a_0$ делится на 4, если $2a_1 + a_0$ делится на 4. Существуют и др. признаки делимости.
Пусть $a_1,...,a_d$ – целые числа, не все равные нулю. Множество общих делителей этих чисел конечно, наибольший из них называется наибольшим общим делителем этого набора чисел. Он обозначается ($a_1,...,a_d$). Если $a, b$ – целые числа и $a {>} 0$, то существует единственная пара целых чисел $q, r$, для которых $b= aq + r, 0{⩽} r {<}a$. Число $q$ называется частным, а $r$ – остатком от деления $b$ на $a$. Справедливо равенство $(a,b) = (r,a)$. Оно сводит вычисление наибольшего общего делителя пары чисел $a, b$ к его вычислению для чисел $r, a$. Повторное применение этих действий ведёт к уменьшению чисел, для которых приходится вычислять наибольший общий делитель, и в конечном счёте позволяет вычислить $(a, b)$ (алгоритм Евклида). Если $(a,b) = 1$, то числа $a$ и $b$ называются взаимно простыми.
Числа, представимые в виде дробей $a/b$, где $a$ – целое и $b$ – натуральное, называются рациональными числами. Дробь $a/b$ называется сократимой, если существует равная ей дробь $a_1/b_1$, для которой $0 {<} b_1 {<} b$. Чтобы выяснить, сократима или нет дробь $a/b$, можно вычислить $d = (a,b)$. Если $d = 1$, т. е. числа $a$ и $b$ взаимно просты, то дробь несократима. Если же $d{ >} 1$, то дробь можно сократить на $d$, т. е. разделить на $d$ числитель и знаменатель, и получившаяся в результате дробь будет несократимой. Уравнение $ax + by = c$, где $a, b, c$ – целые, разрешимо в целых числах $x,y$ тогда и только тогда, когда $c$ делится на $(a, b)$. Существует быстрый способ нахождения всех решений этого уравнения, основанный на алгоритме Евклида. Наименьшее натуральное число, делящееся как на $a$, так и на $b$, называется наименьшим общим кратным чисел $a$ и $b$. Оно равно $ab/(a, b)$. Для того чтобы сложить две дроби $a/b$ и $c/d$, можно найти наименьшее общее кратное $D$ знаменателей $b$ и $d$ и целые числа $u$ и $v$ такие, что $D = bu, D = dv$, тогда $$\frac {a}{b}+ \frac cd = \frac {au}{D}+\frac {cv}{D}=\frac {au+cv}{D}.$$Аналогично можно поступать при вычитании дробей. Произведение и отношение дробей вычисляются по правилам $$\frac ab \cdot \frac cd = \frac {ac}{bd}, \qquad \frac ab : \frac cd=\frac{ad}{bc}.$$
Обыкновенную дробь $a/b$ можно представить в виде десятичной дроби.
Целое число $a{>}1$ называется составным, если оно может быть представлено в виде произведения двух натуральных сомножителей, отличных от $1$, т. е. в виде $a = uv, u {>} 1, v{ >} 1$. В противном случае число $a {>} 1$ называется простым. Простыми числами являются, напр., $2, 3, 5, 7, 11, 13$. Множество простых чисел бесконечно. Справедлива т. н. основная теорема арифметики: каждое отличное от 1 натуральное число представимо в виде произведения простых чисел, такое представление единственно (с точностью до порядка сомножителей). Если $N$ – натуральное число и $p_1 {<} p_2 {<} ... {<} p_n$ – все простые числа, делящие $N$, то справедливо равенство $N = p_1^{k_1} ... p_n^{k_n}$, где $k_i, i = 1, ... , n$, – натуральные числа, оно называется канонич. разложением числа $N$. Для каждого целого числа $N {>} 1$ канонич. разложение единственно. Осн. теорему А. можно отнести к высшей А.
К высшей А. можно отнести также алгоритм отыскания наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и теорему о бесконечности множества простых чисел, методы решения алгебраич. уравнений в целых и рациональных числах, теорию сравнений, теорию степенных вычетов, теорию первообразных корней и индексов, теорию квадратичных форм с целыми коэффициентами и представление чисел такими формами, методы доказательства простоты чисел и разложения чисел на множители, исследования свойств некоторых арифметич. функций и сумм. Среди конкретных утверждений высшей А. – теорема о представимости каждого натурального числа в виде суммы четырёх квадратов, утверждения о неразрешимости в натуральных числах уравнения $x^4 + y^4 = z^4$, доказанное П. Ферма (не позднее 1665), и уравнения $x^3 + y^3 = z^3$, доказанное Л. Эйлером (1770), а также т. н. квадратичный закон взаимности, доказанный К. Гауссом, связывающий разрешимость сравнений $x^2 ≡ q(\text {mod} \ p)$ и $x^2≡p(\text {mod} \ q)$ при разл. простых нечётных числах $p, q$ и отвечающий на вопрос, для каких простых чисел $p$ разрешимо сравнение $x^2 ≡ a(\text mod \ p)$ для фиксированного целого $a$.
Можно сказать, что высшая А. есть элементарная теория чисел. Теория чисел использует аналитич., алгебраич., геометрич. и мн. др. методы для решения арифметич. проблем, а также для исследования более широких классов чисел, напр. алгебраич., трансцендентных. К нерешённым арифметич. проблемам относятся, напр., проблема близнецов – утверждение о бесконечности множества пар простых чисел $p, q$, разность которых равна двум, проблема Гольдбаха о представимости каждого чётного числа $n {⩾} 4$ в виде суммы двух простых чисел, вопросы существования быстрых алгоритмов для вычисления индексов (дискретных логарифмов) по простому модулю.