ДЕЛЕ́НИЕ

ДЕЛЕ́НИЕ, математич. опе­ра­ция, об­рат­ная ум­но­же­нию

, за­клю­чаю­щая­ся в на­хо­ж­де­нии од­но­го из двух со­мно­жи­те­лей, ес­ли из­вест­ны про­из­ве­де­ние и др. со­мно­жи­тель. Т. о., раз­де­лить чис­ло $a$ на чис­ло $d$ – зна­чит най­ти та­кое чис­ло $x$, что $xd=a$. Ре­зуль­тат Д. $x$ на­зы­ва­ет­ся ча­ст­ным, или от­но­ше­ни­ем $a$ и $d$, за­дан­ное про­из­ве­де­ние $a$ – де­ли­мым, а за­дан­ный мно­жи­тель $d$ – де­ли­те­лем. Для обо­зна­че­ния Д. упот­реб­ля­ют зна­ки двое­то­чия $a:d$ и го­ри­зон­таль­ной или на­клон­ной чер­ты $\left( \frac {a}{d},a/d \right)$. Знак двое­то­чия вве­дён Ле­о­нар­до

 >>

Пи­зан­ским (1202), го­ри­зон­таль­ной чер­ты – англ. ма­те­ма­ти­ком У. Джон­сом (1633). Тер­ми­ны «де­ле­ние», «де­ли­тель», «де­ли­мое» впер­вые упот­реб­ля­ют­ся у франц. ма­те­ма­ти­ка Гер­бер­та в кон. 10 в., «ча­ст­ное» – у Ле­о­нар­до Пи­зан­ско­го в 1202. Со­от­вет­ст­вую­щие рус. тер­ми­ны ввёл Л. Ф. Маг­ниц­кий

 >>

(1703).

В пре­де­лах мно­же­ст­ва це­лых чи­сел Д. не все­гда воз­мож­но (6 де­лит­ся на 2 и 3, но не де­лит­ся на 5), но в тех слу­ча­ях, ко­гда оно воз­мож­но, ре­зуль­тат его оп­ре­де­лён един­ст­вен­ным спо­со­бом (од­но­знач­но). В мно­же­ст­ве всех ра­цио­наль­ных (це­лых и дроб­ных) чи­сел Д. не толь­ко од­но­знач­но, но и все­гда осу­ще­ст­ви­мо, за ис­клю­че­ни­ем Д. на нуль. Ес­ли ис­хо­дить из дан­но­го вы­ше оп­ре­де­ле­ния Д., то Д. чис­ла, от­лич­но­го от ну­ля, на нуль не­воз­мож­но. Ре­зуль­та­том Д. ну­ля на нуль, по это­му оп­ре­де­ле­нию, мо­жет быть лю­бое чис­ло, т. к. $c \cdot0=0$ для лю­бо­го чис­ла $c$. Обыч­но в ма­те­ма­ти­ке счи­та­ют, что Д. на нуль не­воз­мож­но во всех слу­ча­ях.

На­ря­ду с точ­ным Д., ко­то­рое рас­смат­ри­ва­лось вы­ше, ис­поль­зу­ет­ся Д. с ос­тат­ком. Это, по су­ще­ст­ву, осо­бая опе­ра­ция, от­лич­ная от Д. в оп­ре­де­лён­ном вы­ше смыс­ле. Ес­ли $a$ и $d$ – це­лые по­ло­жи­тель­ные чис­ла, то опе­ра­ция де­ле­ния с ос­тат­ком чис­ла $a$ на чис­ло $d$ со­сто­ит в на­хо­ж­де­нии це­лых не­от­ри­ца­тель­ных чи­сел $x$ и $y$ та­ких, что $a=xd+y$, $y \lt d$. Эта опе­ра­ция все­гда осу­ще­ст­ви­ма и од­но­знач­на. Ес­ли $y=0$, то го­во­рят, что $a$ де­лит­ся на $d$ без ос­тат­ка. Су­ще­ст­ву­ют про­стые при­зна­ки де­ли­мо­сти без ос­тат­ка на не­ко­то­рые по­ло­жи­тель­ные чис­ла. При­знак де­ли­мо­сти це­ло­го по­ло­жи­тель­но­го чис­ла $a$ на це­лое по­ло­жи­тель­ное чис­ло $d$ – это ус­ло­вие, ко­то­ро­му удов­ле­тво­ря­ет $a$ в том и толь­ко в том слу­чае, ко­гда оно де­лит­ся на $d$ без ос­тат­ка. Же­ла­тель­но, что­бы это ус­ло­вие бы­ло лег­ко про­ве­рить и что­бы эта про­вер­ка бы­ла не слож­нее не­по­сред­ст­вен­но­го де­ле­ния чис­ла $a$ на $d$.

Пусть чис­ло $a$ за­пи­са­но в де­ся­тич­ной сис­те­ме счис­ле­ния $a=a_n \dots a_2a_1a_0$, т. е. 

$$a=a_0+10a_1+10^2a_2+ \ldots+10^na_n.$$ Из это­го пред­став­ле­ния по­лу­ча­ют­ся при­зна­ки де­ли­мо­сти на де­ли­те­ли чи­сел 10, 100, 1000, … В ча­ст­но­сти, для то­го что­бы чис­ло $a$ де­ли­лось на 2, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы его по­след­няя циф­ра $a_0$ де­ли­лась на 2, т. к. чис­ло $a-a_0=10a_1+10^2a_2+ \ldots +10^na_n$ де­лит­ся на 2. Для то­го что­бы $a$ де­ли­лось на 4, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы $a_0+10a_1$ де­ли­лось на 4, т. к. $a-a_0-10a_1=10^2a_2+ \ldots+10^na_n$ де­лит­ся на 4. Ана­ло­гич­но, $a$ де­лит­ся на 8 то­гда и толь­ко то­гда, когда $a_0+10a_1+100a_2$ де­лит­ся на 8. Т. к. раз­ность $(a_0+10a_1)-(a_0+2a_1)$ де­лит­ся на 4 и, зна­чит, чис­ла $a_0+10a_1$ и $a_0+2a_1$ де­лят­ся или не де­лят­ся на 4 од­но­вре­мен­но, при­зна­ку де­ли­мо­сти на 4 мож­но дать та­кую фор­му: чис­ло $a$ де­лит­ся на 4 то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда $a_0+2a_1$ де­лит­ся на 4.

Ка­ж­дый при­знак де­ли­мо­сти на чис­ло $d$ со­пос­тав­ля­ет чис­лу $a$, ес­ли оно не слиш­ком ма­ло, не­ко­то­рое не­от­ри­ца­тель­ное чис­ло, мень­шее $a$, ко­то­рое де­лит­ся на $d$ то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда са­мо $a$ де­лит­ся на $d$. Дру­ги­ми сло­ва­ми, ка­ж­дый при­знак де­ли­мо­сти на чис­ло $d$ оп­ре­де­ля­ет­ся не­ко­то­рой функ­ци­ей $f$, при­ни­маю­щей це­лые зна­че­ния и удов­ле­тво­ряю­щей ус­ло­вию $|f(a)| \lt a$ для ка­ж­до­го це­ло­го по­ло­жи­тель­но­го $a$, на­чи­ная с не­ко­то­ро­го, при­чём $f(a)$ де­лит­ся на $d$ то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда $a$ де­лит­ся на $d$. Функ­ция, удов­ле­тво­ряю­щая этим ус­ло­ви­ям, на­зы­ва­ет­ся функ­ци­ей де­ли­мо­сти на чис­ло $d$, мно­же­ст­во всех та­ких функ­ций обо­зна­ча­ет­ся $\Omega (d)$. Пе­ре­чис­лен­ные вы­ше при­зна­ки де­ли­мо­сти мож­но пред­ста­вить сле­дую­щим об­ра­зом:

$$f=a_0 \in \Omega(2) \cap \Omega(5),$$ $$f=a_0+10a_1 \in \Omega(4) \cap \Omega(25),$$ $$f=a_0+10a_1+100a_2 \in \Omega(8) \cap \Omega(125),$$ $$f=a_0+2a_1 \in \Omega(4).$$ Т. к. $10^k, k=1,2, \dots$, при де­ле­нии на 3 и 9 да­ёт в ос­тат­ке 1, чис­ло $a=a_0+10a_1+\ldots+10^na_n$ пред­ста­ви­мо в ви­де $a=a_0+a_1+ \ldots+a_n+b$, где $b$ де­лит­ся на 9. Поэто­му $a$ де­лит­ся на 3 (на 9) то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда сум­ма его цифр $a_0+a_1+ \ldots+a_n$ де­лит­ся на 3 (на 9), т. е. со­от­вет­ст­вую­щая функ­ция де­ли­мо­сти  $$f=a_0+a_1+ \ldots+a_n \in \Omega(9)\subset \Omega(3).$$

Це­лое по­ло­жи­тель­ное чис­ло, боль­шее еди­ни­цы, на­зы­ва­ет­ся про­стым, ес­ли оно не де­лит­ся без ос­тат­ка ни на од­но це­лое не­от­ри­ца­тель­ное чис­ло, от­лич­ное от еди­ни­цы и са­мо­го се­бя, в про­тив­ном слу­чае оно на­зы­ва­ет­ся со­став­ным. Лю­бое це­лое чис­ло, боль­шее еди­ни­цы, мож­но раз­ло­жить в про­из­ве­де­ние про­стых чи­сел, напр., 924=2·2·3·7·11, при­чём это раз­ло­же­ние един­ст­вен­но с точ­но­стью до по­ряд­ка мно­жи­те­лей. Дан­ное чис­ло $n$ де­лит­ся на про­стое чис­ло $p$ в том и толь­ко в том слу­чае, ес­ли $p$ встре­ча­ет­ся сре­ди про­стых мно­жи­те­лей, на ко­то­рые раз­ла­га­ет­ся $n$.

Для двух це­лых по­ло­жи­тель­ных чи­сел сре­ди всех их об­щих де­ли­те­лей су­ще­ст­ву­ет наи­боль­ший, на­зы­вае­мый наи­боль­шим об­щим де­ли­те­лем. Ес­ли наи­боль­ший об­щий де­ли­тель двух чи­сел ра­вен еди­ни­це, то чис­ла на­зы­ва­ют­ся вза­им­но про­сты­ми. Це­лое чис­ло, де­ля­щее­ся на два вза­им­но про­стых чис­ла, де­лит­ся на их про­из­ве­де­ние. На этом фак­те ос­но­ва­ны про­стые при­зна­ки де­ли­мо­сти на 6=2·3, на 12=3·4, на 15=3·5.

Опи­сан­ная вы­ше опе­ра­ция Д. с ос­тат­ком ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся для мно­го­чле­нов ви­да 

$$P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n.$$ Она со­сто­ит в на­хо­ж­де­нии по мно­го­чле­нам $P(x)$ и $Q(x)$ мно­го­чле­нов $S(x)$ и $R(x)$ та­ких, что $P(x)=S(x)Q(x)+R(x)$, где сте­пень $R(x)$ мень­ше сте­пе­ни $Q(x)$. Эта опе­ра­ция так­же од­но­знач­на и все­гда вы­пол­ни­ма. Ес­ли $R(x)=0$, то $P(x)$ де­лит­ся на $Q(x)$ без ос­тат­ка. Ана­ло­гич­но тео­рии де­ли­мо­сти це­лых чи­сел стро­ит­ся тео­рия де­ли­мо­сти для мно­го­чле­нов. При раз­ло­же­нии мно­го­чле­нов роль про­стых чи­сел иг­ра­ют не­при­во­ди­мые (не раз­ла­гаю­щие­ся на мно­жи­те­ли) мно­го­чле­ны. Свой­ст­во быть не­при­во­ди­мым за­ви­сит от то­го, ка­кие чис­ла до­пус­ка­ют­ся в ка­че­ст­ве ко­эф­фи­ци­ен­тов. При дей­ст­ви­тель­ных ко­эф­фи­ци­ен­тах не­при­во­ди­мы­ми мо­гут быть толь­ко мно­го­чле­ны 1-й и 2-й сте­пе­ней, а при ком­плекс­ных ко­эф­фи­ци­ен­тах – толь­ко 1-й сте­пе­ни.