УМНОЖЕ́НИЕ

УМНОЖЕ́НИЕ, опе­ра­ция, со­пос­тав­ляю­щая двум дан­ным объ­ек­там $a$ и $b$, на­зы­вае­мым со­мно­жи­те­ля­ми, тре­тий объ­ект $c$, на­зы­вае­мый про­из­ве­де­ни­ем. У. обо­зна­ча­ет­ся зна­ком $×$ (ввёл англ. ма­те­ма­тик У. От­ред в 1631) или точ­кой $·$ (ввёл Г. В. Лейб­ниц в 1698), в бу­к­вен­ных за­пи­сях эти зна­ки обыч­но опус­ка­ют­ся и вме­сто $a×b$ или $a·b$ пи­шут $ab$. У. име­ет разл. кон­крет­ный смысл и со­от­вет­ст­вен­но разл. кон­крет­ные оп­ре­де­ле­ния в за­ви­си­мо­сти от ви­да со­мно­жи­те­лей и про­из­ве­де­ния.

У. на­ту­раль­ных чи­сел есть, по оп­ре­де­ле­нию, опе­ра­ция, со­пос­тав­ляю­щая чис­лам $a$ и $b$ третье чис­ло $c$, рав­ное сум­ме $b$ сла­гае­мых, ка­ж­дое из ко­то­рых рав­но $a$, так что $ab=a+a+...+a$ (в сум­ме в пра­вой час­ти ра­вен­ст­ва $b$ сла­гае­мых). Чис­ло $a$ на­зы­ва­ет­ся мно­жи­мым, $b$ – мно­жи­те­лем.

У. ра­цио­наль­ных чи­сел $m\over n$ и $p\over q$ оп­реде­ля­ет­ся ра­вен­ст­вом $\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}=\frac{mp}{nq}$. У. рацио­наль­ных чи­сел да­ёт чис­ло, аб­со­лют­ная ве­ли­чи­на ко­то­ро­го рав­на про­из­ве­де­нию аб­со­лют­ных ве­ли­чин со­мно­жи­те­лей, имею­щему знак «плюс», ес­ли со­мно­жи­те­ли од­но­го зна­ка, и знак «ми­нус», ес­ли со­мно­жи­те­ли раз­ных зна­ков. У. ир­ра­цио­наль­ных чи­сел оп­ре­де­ля­ет­ся при по­мо­щи У. их ра­цио­наль­ных при­бли­же­ний. У. ком­плекс­ных чи­сел, за­дан­ных в фор­ме $α=a+bi$, $β=c+di$, где $i$ – мни­мая еди­ни­ца, оп­ре­де­ля­ет­ся ра­вен­ст­вом $αβ=ac-bd+ (ad+bc)i$. При У. ком­плекс­ных чи­сел, за­дан­ных в три­го­но­мет­рич. фор­ме $$α=r_1(\cos φ_1+i\sin φ_1),\\ β=r_2(\cos φ_2+i\sin φ_2),$$ их мо­ду­ли пе­ре­мно­жа­ют­ся, а ар­гу­мен­ты скла­ды­ва­ют­ся: $$αβ=r_1r_2(\cos(φ_1+φ_2)+i\sin(φ_1+φ_2)).$$

У. чи­сел од­но­знач­но и об­ла­да­ет свой­ст­ва­ми:

$ab=ba$ (ком­му­та­тив­ность, пе­ре­мес­ти­тель­ный за­кон);

$a(bc)=(ab)c$ (ас­со­циа­тив­ность, со­че­та­тель­ный за­кон);

$a(b+c)=ab+ac$ (ди­ст­ри­бу­тив­ность, рас­пре­де­ли­тель­ный за­кон).

При этом все­гда $a·0=0$, $a·1=a$.

Даль­ней­шее обоб­ще­ние по­ня­тия У. свя­за­но с воз­мож­но­стью рас­смат­ри­вать чис­ла как опе­ра­то­ры в со­во­куп­но­сти век­то­ров на плос­ко­сти. Напр., ком­плекс­но­му чис­лу $r(\cos φ+i\sin φ)$ со­от­вет­ст­ву­ет опе­ра­тор рас­тя­же­ния всех век­то­ров в $r$ раз и их по­во­ро­та на угол $φ$. При этом У. ком­плекс­ных чи­сел от­ве­ча­ет У. со­от­вет­ст­вую­щих опе­ра­то­ров, т. е. ре­зуль­та­том У. яв­ля­ет­ся опе­ра­тор, по­лу­чаю­щий­ся по­сле­до­ва­тель­ным при­ме­не­ни­ем двух дан­ных опе­ра­то­ров. Та­кое оп­ре­де­ле­ние У. опе­ра­то­ров пе­ре­но­сит­ся и на др. ви­ды опе­ра­то­ров, ко­то­рые уже нель­зя вы­ра­зить при по­мо­щи чи­сел (напр., ли­ней­ные пре­об­ра­зо­ва­ния). Это при­во­дит, напр., к опе­ра­ции У. мат­риц, рас­смат­ри­вае­мых как опе­ра­то­ры рас­тя­же­ния и по­во­ро­та в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве. При та­ких обоб­ще­ни­ях мо­гут не вы­пол­нять­ся не­ко­то­рые из пе­ре­чис­лен­ных вы­ше свойств У., ча­ще все­го не вы­пол­ня­ет­ся свой­ст­во ком­му­та­тив­но­сти. Изу­че­ние об­щих свойств опе­ра­ции У. вхо­дит в за­да­чи об­щей ал­геб­ры, в ча­ст­но­сти в тео­рии групп и ко­лец.