УМНОЖЕ́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
УМНОЖЕ́НИЕ, операция, сопоставляющая двум данным объектам a и b, называемым сомножителями, третий объект c, называемый произведением. У. обозначается знаком × (ввёл англ. математик У. Отред в 1631) или точкой · (ввёл Г. В. Лейбниц в 1698), в буквенных записях эти знаки обычно опускаются и вместо a×b или a·b пишут ab. У. имеет разл. конкретный смысл и соответственно разл. конкретные определения в зависимости от вида сомножителей и произведения.
У. натуральных чисел есть, по определению, операция, сопоставляющая числам a и b третье число c, равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно a, так что ab=a+a+...+a (в сумме в правой части равенства b слагаемых). Число a называется множимым, b – множителем.
У. рациональных чисел mn и pq определяется равенством mn⋅pq=mpnq. У. рациональных чисел даёт число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющему знак «плюс», если сомножители одного знака, и знак «минус», если сомножители разных знаков. У. иррациональных чисел определяется при помощи У. их рациональных приближений. У. комплексных чисел, заданных в форме α=a+bi, β=c+di, где i – мнимая единица, определяется равенством αβ=ac−bd+(ad+bc)i. При У. комплексных чисел, заданных в тригонометрич. форме α=r1(cosφ1+isinφ1),β=r2(cosφ2+isinφ2), их модули перемножаются, а аргументы складываются: αβ=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)).
У. чисел однозначно и обладает свойствами:
ab=ba (коммутативность, переместительный закон);
a(bc)=(ab)c (ассоциативность, сочетательный закон);
a(b+c)=ab+ac (дистрибутивность, распределительный закон).
При этом всегда a·0=0, a·1=a.
Дальнейшее обобщение понятия У. связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Напр., комплексному числу r(cosφ+isinφ) соответствует оператор растяжения всех векторов в r раз и их поворота на угол φ. При этом У. комплексных чисел отвечает У. соответствующих операторов, т. е. результатом У. является оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение У. операторов переносится и на др. виды операторов, которые уже нельзя выразить при помощи чисел (напр., линейные преобразования). Это приводит, напр., к операции У. матриц, рассматриваемых как операторы растяжения и поворота в трёхмерном пространстве. При таких обобщениях могут не выполняться некоторые из перечисленных выше свойств У., чаще всего не выполняется свойство коммутативности. Изучение общих свойств операции У. входит в задачи общей алгебры, в частности в теории групп и колец.