СРАВНЕ́НИЕ

СРАВНЕ́НИЕ в математике, со­от­но­ше­ние ме­ж­ду дву­мя це­лы­ми чис­ла­ми $a$ и $b$, оз­на­чаю­щее, что раз­ность $a-b$ этих чи­сел де­лит­ся на за­дан­ное це­лое чис­ло $m$, на­зы­вае­мое мо­ду­лем срав­не­ния, за­пи­сы­ва­ет­ся как $$a≡b\,(\text{mod}\,m).$$ Спра­вед­ли­во, напр., со­от­но­ше­ние $2≡8$ $(\text{mod}\,3)$, т. к. 2-8 де­лит­ся на 3. С. об­лада­ют мн. свой­ст­ва­ми, ана­ло­гич­ны­ми свой­ст­вам ра­венств. Напр., сла­гае­мое, на­хо­дя­щее­ся в од­ной час­ти С., мож­но пе­ре­не­сти с об­рат­ным зна­ком в дру­гую часть, т. е. из $a+b≡c$ $(\text{mod}\,m)$ сле­ду­ет, что $a≡c-b$ $(\text{mod}\,m)$. С. с од­ним и тем же мо­ду­лем мож­но скла­ды­вать, вы­чи­тать, ум­но­жать, т. е. из $a≡b$ $(\text{mod}\,m)$ и $c≡d$ $(\text{mod}\,m)$ сле­ду­ет, что $a+c≡b+d$ $(\text{mod}\,m)$, $a-c≡b-d$ $(\text{mod}\,m)$, $ac≡bd$ $(\text{mod}\,m)$. Обе час­ти С. мож­но ум­но­жать на од­но и то же це­лое чис­ло, обе час­ти С. мож­но раз­де­лить на их об­щий де­ли­тель, ес­ли по­след­ний вза­им­но прост с мо­ду­лем. Ес­ли же наи­боль­ший об­щий де­ли­тель чис­ла, на ко­то­рое де­лят­ся обе час­ти С., и мо­ду­ля $m$ есть $d$, то по­сле де­ле­ния по­лу­ча­ет­ся С. по мо­ду­лю $m/d$. В чи­сел тео­рии рас­смат­ри­ва­ют­ся ме­то­ды ре­ше­ния раз­лич­ных С., т. е. ме­то­ды оты­ска­ния це­лых чи­сел, удов­ле­тво­ряю­щих С. то­го или ино­го ви­да. Ес­ли чис­ло $x$ яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем не­ко­то­ро­го С. по мо­ду­лю $m$, то лю­бое чис­ло ви­да $x+km$, $k$ – це­лое, так­же яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем это­го С.

Со­во­куп­ность чи­сел ви­да $x+km $,$k=$ ..., – 1,0,1,..., на­зы­ва­ют клас­сом по мо­ду­лю $m$. Ре­ше­ния С. по мо­ду­лю $m$, при­над­ле­жа­щие к од­но­му и то­му же клас­су по мо­ду­лю $m$, не счи­та­ют­ся раз­лич­ны­ми, так что чис­лом ре­ше­ний С. по мо­ду­лю $m$ на­зы­ва­ют чис­ло ре­ше­ний, при­над­ле­жа­щих разл. клас­сам по мо­ду­лю $m$. С. 1-й сте­пе­ни с од­ним не­из­вест­ным все­гда мо­жет быть при­ве­де­но к ви­ду $ax≡b$ $(\text{mod}\,m)$. Оно не име­ет ре­ше­ний, ес­ли $b$ не де­лит­ся на наи­боль­ший об­щий де­ли­тель $a$ и $b$, обо­зна­чае­мый $d$, и име­ет $d$ ре­ше­ний, ес­ли $b$ де­лит­ся на $d$. Тео­рия квад­ра­тич­ных вы­че­тов и сте­пен­ных вы­че­тов есть тео­рия С. ви­да со­от­вет­ст­вен­но $x^2≡a$ $(\text{mod}\,m)$ и $x^n≡a$ $(\text{mod}\,m)$.