ПРОИЗВОДЯ́ЩАЯ ФУ́НКЦИЯ

ПРОИЗВОДЯ́ЩАЯ ФУ́НКЦИЯ (ге­не­рат­рис­са) по­сле­до­ва­тель­но­сти $u_0,u_1,...,u_n,...$ – функ­ция пе­ре­мен­ной $t$ $$U(t)=\sum_{n=0}^{\infty} u_nt^n,$$ес­ли сте­пен­ной ряд схо­дит­ся в ка­ком-ни­будь ин­тер­ва­ле $∣t∣\lt t_0$. П. ф. оп­ре­де­ля­ют­ся как для чи­сло­вых, так и для функ­цио­наль­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей (в по­след­нем слу­чае П. ф. за­ви­сит не толь­ко от $t$, но и от ар­гу­мен­тов функ­ций $u_n$). Напр., ес­ли $u_n =aq^n$ (где $a$, $q$ – по­сто­ян­ные) – гео­мет­рич. про­грес­сия, то её П. ф. $$U(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a(qt)^n=\frac{a}{1-qt};$$ес­ли $u_n=T_n(x)$ – мно­го­чле­ны Че­бы­ше­ва, $T_0(x)≡1$, $T_n(x)=\cos(n \arccos x)$, $n=1, 2, ...$, то со­от­вет­ст­вую­щая П. ф. $$U(t)=U(t,x)=\sum_{n=0}^{\infty} T_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$$Как пра­ви­ло, ис­поль­зо­ва­ние П. ф. уп­ро­ща­ет изу­че­ние свойств по­сле­до­ва­тель­но­стей; при до­воль­но ши­ро­ких ус­ло­ви­ях по­сле­до­ва­тель­ность од­но­знач­но вос­ста­нав­ли­ва­ет­ся по П. ф. Ме­тод П. ф. ис­поль­зу­ет­ся в ал­геб­ре, тео­рии функ­ций и осо­бен­но в тео­рии ве­ро­ят­но­стей, где этот ме­тод был впер­вые при­ме­нён А. де Му­ав­ром и П. Ла­п­ла­сом.