ВЫ́ЧЕТ

ВЫ́ЧЕТ, 1) в тео­рии чи­сел. В. по мо­ду­лю m (m – на­ту­раль­ное чис­ло) – лю­бое чис­ло из мно­же­ст­ва всех це­лых чи­сел, даю­щих оди­на­ко­вые ос­тат­ки при де­ле­нии на m. Все це­лые чис­ла, по от­но­ше­нию к за­дан­но­му на­ту­раль­но­му чис­лу m, рас­па­да­ют­ся на m разл. клас­сов: к од­но­му клас­су от­но­сят те чис­ла, ко­то­рые при де­ле­нии на m да­ют один и тот же ос­та­ток. Напр., чис­ла …, –9, –2, 5, 12, 19, … при де­ле­нии на 7 да­ют ос­та­ток 5, т. е. об­ра­зу­ют один класс В. по мо­ду­лю 7, лю­бое чис­ло из это­го клас­са яв­ля­ет­ся В. по мо­ду­лю 7. Т. о., наи­мень­ший не­отри­ца­тель­ный В. из за­дан­но­го клас­са ра­вен ос­тат­ку от де­ле­ния лю­бо­го чис­ла из это­го клас­са на m. Ес­ли взять из ка­ж­до­го клас­са по од­но­му В., то по­лу­чит­ся со­во­куп­ность чи­сел, ко­то­рая на­зы­ва­ет­ся пол­ной сис­те­мой вы­че­тов по мо­ду­лю m. Напр., ес­ли m = 10, то ка­ж­дая из со­во­куп­но­стей (0, 1, ..., 9), (–5, –4, ..., 3, 4), (–4, –3, ..., 4, 5) об­ра­зу­ет пол­ную сис­те­му В. по мо­ду­лю 10. Все чис­ла пол­ной сис­те­мы В., вза­им­но про­стые с мо­ду­лем m, об­ра­зу­ют со­во­куп­ность, ко­то­рая на­зы­ва­ет­ся при­ве­дён­ной сис­те­мой вы­че­тов по мо­ду­лю m. Напр., при­ве­дён­ной сис­те­мой В. по мо­ду­лю 10 яв­ля­ет­ся ка­ж­дая из со­во­куп­но­стей (1, 3, 7, 9), (–3, –1, 1, 3).

Ес­ли $a $ и $b$ при­над­ле­жат од­но­му клас­су В. по мо­ду­лю $m$, то го­во­рят, что $a$ сравни­мо с $b$ по мо­ду­лю $m$ и пи­шут $a≡b(\mod m)$. Это со­от­но­ше­ние на­зы­вает­ся срав­не­ни­ем. Срав­не­ния по мо­ду­лю $m$ об­ла­да­ют мно­ги­ми свой­ст­ва­ми ра­венств: их мож­но по­член­но скла­ды­вать, вы­чи­тать, пе­ре­мно­жать; они об­ла­да­ют так­же свой­ст­ва­ми, ко­то­рых нет у ра­венств. Чис­ло $a$, вза­им­но про­стое с $m$, на­зы­ва­ет­ся В. сте­пе­ни $n$, где $n$ – на­ту­раль­ное чис­ло, $n⩾2$, ес­ли най­дёт­ся та­кое $b$, что $a≡bn(\mod m)$ (сте­пен­ной В.); в про­тив­ном слу­чае $a$ на­зы­ва­ет­ся не­вы­че­том сте­пе­ни $n$ по мо­ду­лю $m$. Вы­че­ты (не­вы­че­ты) сте­пе­ни $n = 2$ на­зы­ва­ют­ся квад­ра­тич­ны­ми, сте­пе­ни $n = 3$ – ку­би­че­ски­ми, сте­пе­ни $n = 4$ – би­квад­ра­тич­ны­ми. Напр., ес­ли $m = 7$, то чис­ла 1, 2, 4 – квад­ра­тич­ные В., а чис­ла 3, 5, 6 – квад­ра­тич­ные не­вы­че­ты по мо­ду­лю 7, чис­ла 1, 6 – ку­би­че­ские В., а чис­ла 2, 3, 4, 5 – ку­би­че­ские не­вы­че­ты по мо­ду­лю 7.

2) В. в тео­рии функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го. В. го­ло­морф­ной функ­ции $f $в изо­ли­ро­ван­ной осо­бой точ­ке $z_0$, $z_0\ne\infty,$ на­зы­ва­ет­ся ко­эф­фи­ци­ент при $(z-z_0)^{-1}$в раз­ло­же­нии функ­ции $f $в ряд по це­лым сте­пе­ням $z-z_0$(см. Ло­ра­на ряд) в ок­ре­ст­но­сти точ­ки $z_0$. Обыч­но В. функ­ции $f$ в точ­ке $z_0$ обо­зна­ча­ет­ся $res_{z0}f$. Ес­ли $γ$ – ок­руж­ность дос­та­точ­но ма­ло­го ра­диу­са с цен­тром в точ­ке $z_0$ та­кая, что в ог­ра­ни­чен­ном ею кру­ге функ­ция $f $ не име­ет осо­бых то­чек, от­лич­ных от $z_0$, при­чём $γ$ ори­ен­ти­ро­ва­на про­тив ча­со­вой стрел­ки, то$$res_{z0}f=\frac{1}{2\pi i}\int_γf(z)dz.$$

Пусть $D$ – об­ласть ком­плекс­ной плос­ко­сти с ку­соч­но-глад­кой гра­ни­цей Γ, ори­ен­ти­ро­ван­ной так, что при дви­же­нии по Γ об­ласть $D$ ос­та­ёт­ся сле­ва. Ес­ли $z_1, …, z_n $– все осо­бые точ­ки функ­ции $f $ в об­лас­ти $D$, при­чём $f $ го­ло­морф­на в $D$ и в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти Γ, то$$\int_{\text Г} f(z)dz=2\pi i(\text{res}_{z_1}f+\dots+\text{res}_{z_n}f).$$

По­сколь­ку В. на­хо­дят­ся срав­ни­тель­но про­сто, эта тео­ре­ма яв­ля­ет­ся эф­фек­тив­ным сред­ст­вом для вы­чис­ле­ния ин­те­гра­лов.