ЛОРА́НА РЯД

ЛОРА́НА РЯД, ряд ви­да $$a_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+\frac{b_1}{z-a}+\frac{b_2}{(z-a)^2}+...,$$ т. е. ряд

, со­дер­жа­щий как по­ло­жи­тель­ные, так и от­ри­ца­тель­ные сте­пе­ни раз­но­сти $z-a$ ($z$, $a$ и ко­эф. ря­да – ком­плекс­ные чис­ла). Со­во­куп­ность чле­нов с не­от­ри­ца­тель­ны­ми сте­пе­ня­ми яв­ля­ет­ся обык­но­вен­ным сте­пен­ным ря­дом

 >>

, схо­дя­щим­ся, во­об­ще го­во­ря, внут­ри кру­га с цен­тром $a$ и ра­диу­сом $R, R⩽∞$, ос­таль­ные чле­ны об­ра­зу­ют ряд, схо­дя­щий­ся, во­об­ще го­во­ря, вне кру­га с тем же цен­тром и ра­диу­сом $r, r⩾0$. Ес­ли $r \lt R$, то Л. р. схо­дит­ся в кру­го­вом коль­це $r \lt ∣z-a∣ \lt R$, его сум­ма яв­ля­ет­ся в этом коль­це ана­ли­ти­че­ской функ­ци­ей

 >>

ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го $z$.

Та­кие ря­ды встре­ча­ют­ся у Л. Эй­ле­ра

(1748), од­на­ко своё на­зва­ние они по­лу­чи­ли по име­ни франц. ма­те­ма­ти­ка П. Ло­ра­на, ко­то­рый в 1843 по­ка­зал, что вся­кая функ­ция ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го, од­но­знач­ная и ана­ли­ти­че­ская в коль­це $r \lt ∣z-a∣ \lt R$, мо­жет быть раз­ло­же­на в этом коль­це в та­кой ряд.