АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ, функция, которая может быть представлена степенными рядами. Исключительная важность класса А. ф. определяется следующим. Во-первых, этот класс достаточно широк: он охватывает большинство функций, встречающихся в осн. разделах математики и её приложениях в естествознании и технике. Аналитическими являются элементарные функции – многочлены, рациональные функции, показательные и логарифмические, степенные, тригонометрические и обратные тригонометрические, гиперболические и обратные гиперболические функции, а также алгебраические функции и специальные функции (эллиптические, цилиндрические и др.). Во-вторых, класс А. ф. замкнут относительно осн. операций арифметики, алгебры и анализа: применение арифметич. действий к функциям этого класса, решение алгебраич. уравнений с аналитич. коэффициентами, дифференцирование и интегрирование А. ф. снова приводят к А. ф. Наконец, А. ф. обладают свойством единственности: каждая А. ф. образует «органически связанное целое», представляет собой «единую» функцию во всей своей естественной области существования. Это свойство, которое в 19 в. считалось неотделимым от самого понятия функции, приобрело принципиальное значение после того, как в 19 в. установилась общая точка зрения на функцию как на произвольное соответствие.
Теория А. ф. создана в 19 в., в первую очередь благодаря работам О. Коши, Б. Римана и К. Вейерштрасса. Решающую роль в построении этой теории сыграл переход от действительного переменного $x$ к комплексному переменному $z=x+iy$, лежащему в комплексной плоскости. Теория А. ф. возникла как теория функций комплексного переменного; в некотором смысле именно А. ф. (а не произвольные комплексные функции двух действительных переменных $x$ и $y$) естественно считать функциями комплексного переменного $z$. Поэтому часто под теорией функций комплексного переменного понимают именно теорию А. ф.
Существуют разл. подходы к понятию аналитичности. В основе одного из них, предложенного О. Коши и развитого Б. Риманом, лежит структурное свойство функции – существование производной по комплексному переменному (комплексная дифференцируемость). Этот подход тесно связан с геометрич. соображениями. Другой подход, развивавшийся К. Вейерштрассом, основывается на возможности представления функций степенными рядами; он связан тем самым с аналитич. аппаратом, с помощью которого может быть представлена функция. Осн. факт теории А. ф. заключается в тождественности соответствующих классов функций, рассматриваемых в произвольной области комплексной плоскости.
Приведём точные определения. Геометрически число $z=x+iy$ изображается точкой плоскости с координатами $x$ и $y$; евклидова плоскость, точки которой отождествляются с комплексными числами, называется комплексной плоскостью. Пусть $D$ – область (открытое связное множество) в комплексной плоскости. Если каждой точке $z$ области $D$ поставлено в соответствие некоторое комплексное число $w$, то говорят, что в области $D$ определена (однозначная) функция $f$ комплексного переменного $z$, и пишут $w=f(z), z\in D$. Функция $w=f(z)=f(x+iy)$ комплексного переменного $z\in D$ может рассматриваться как комплексная функция двух действительных переменных $x$ и $y$, определённая в области $D$. Если $f$ дифференцируема в точке $z\in D$ как функция $(x,y)$, то в этой точке определены (формальные) производные$$\frac {\partial f}{\partial z} = \frac 12 \left( \frac {\partial f}{\partial x} -i \frac {\partial f}{\partial y} \right), \frac {\partial f}{\partial \bar z} = \frac 12 \left( \frac {\partial f}{\partial x} +i \frac {\partial f}{\partial y} \right)$$а приращение $\Delta f(z)=f(z+\Delta z)-f(z)$ представляется в виде$$\Delta f(z)=\left( \frac {\partial f}{\partial z} \right)(z)\Delta z + \left( \frac {\partial f}{\partial \bar z} \right)(z) \Delta \bar z + o(\Delta z),$$где $\bar z=x-iy, o(\Delta z)/\Delta z \rightarrow 0$ при $\Delta z \rightarrow 0$. Если $(\partial f/\partial \bar z)(z)= 0$, то существует предел $f'(z)$ отношения $\Delta f(z)/\Delta z$ при $\Delta z \rightarrow 0$, который называется производной функции $f$ в точке $z$, а $f$ называется комплексно дифференцируемой в этой точке. Если это свойство имеет место для любой точки $z$ области $D$, то функция $f$ называется комплексно дифференцируемой (или голоморфной) в $D$. Т. о., голоморфность $f$ в $D$ означает дифференцируемость $f$ в $D$ по переменным $x,y$ и выполнение условий Коши – Римана $(\partial f/\partial \bar z)(z)=0$, которые в терминах действительных переменных $x,y$ и функций $u, v, f=u+iv$, называемых действительной и мнимой частью функции $f$, записываются в виде системы уравнений Коши – Римана:$$\frac {\partial u}{\partial x}=\frac {\partial v}{\partial y}, \frac {\partial u}{\partial y}=-\frac {\partial v}{\partial x}.$$Равенство $(\partial f/\partial \bar z)(z)=0$ показывает, что комплексно дифференцируемыми являются те и только те функции $f$, которые, рассматриваемые формально как функции независимых переменных $z$ и $\bar z$, зависят только от $z$.
Функция $f$, определённая в области $D$, называется аналитической в точке $z_0 \in D$, если существует окрестность этой точки, в которой $f$ представляется степенным рядом$$f(z)=a_0+a_1(z-z_0)+ \ldots +a_n(z-z_0)^n+\ldots$$Если это свойство имеет место в каждой точке $z_0 \in D$ области $D$, то функция $f$ называется аналитической в $D$.
В теории функций комплексного переменного доказывается, что всякая функция $f$, комплексно дифференцируемая (голоморфная) в области $D$, аналитична в этой области. С другой стороны, функция $f$, аналитическая в точке $z_0$ области $D$, комплексно дифференцируема в этой точке (и даже бесконечно дифференцируема по комплексному переменному $z$). Следовательно, понятия комплексной дифференцируемости и аналитичности функции в области тождественны.
Если $E$ – произвольное множество в комплексной плоскости, то функция $f(z)$, $z \in E$, называется аналитической (голоморфной) на $E$, если существует открытое множество, содержащее $E$, и аналитическая на нём функция $f$, совпадающая с $f$ на множестве $E$. Для открытых множеств понятие аналитичности эквивалентно понятию комплексной дифференцируемости на множестве, однако в общем случае это не так.
Важнейшее свойство А. ф. выражается следующей теоремой единственности: две функции, аналитические в области $D$ и совпадающие на каком-либо множестве, имеющем предельную точку в $D$, совпадают и во всей области $D$. В частности, А. ф., отличная от тождественного нуля, может иметь в области лишь изолированные нули.
Важную роль в изучении А. ф. играют точки, в которых нарушается свойство аналитичности, – т. н. особые точки А. ф. Функция $f$, аналитическая в области вида $0\lt |z-z_0|\ltρ$, разлагается в ней в ряд Лорана$$f(z)=\sum_{-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n.$$Если в этом разложении члены с отрицательными степенями отсутствуют ($a_n = 0$ для $n= –1, –2, \ldots$), то $\lim_{z \rightarrow z_0} f(z)=a_0$ и точка $z_0$ называется правильной точкой $f$. Если ряд Лорана функции $f$ содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями $z–z_0$, то точка $z_0$ называется полюсом функции $f$; в этом случае $\lim_{z-z_0}f(z)=\infty$. Если же ряд Лорана функции $f$ содержит бесконечное число отрицательных степеней $z–z_0$, то $z_0$ называется существенно особой точкой; в таких точках не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции $f$.
Функции, представимые в виде отношения двух функций, аналитических в области $D$, называются мероморфными в $D$. Мероморфная в области функция аналитична в ней за исключением конечного или счётного множества полюсов; в полюсах значения мероморфной функции считаются равными бесконечности.
Простейший класс А. ф. составляют функции, аналитические во всей комплексной плоскости; такие функции называются целыми. К ним относятся, напр., многочлены от $z$, функции $e^z$, $\sin z$, $\cos z$. Функции, мероморфные во всей плоскости, – это, напр., рациональные функции от $z$ (отношения многочленов), $\tan z = \sin z/\cos z,\,\cot \,z=\cos z /\sin z$, эллиптич. функции.
Для изучения А. ф. важное значение имеют связанные с ними геометрич. представления. Функцию $w=f(z), z \in D$, можно рассматривать как отображение области $D$ в комплексную плоскость переменного $w$. Если $f$ есть А. ф., то образ $f(D)$ области $D$ также является областью (принцип сохранения области). Если $f'(z_0) ≠0$, то соответствующее отображение сохраняет углы в точке $z_0$ как по абсолютному значению, так и по знаку, т. е. является конформным.
Действительная и мнимая части $u$ и $v$ А. ф. $f$ в области $D$ удовлетворяют в ней уравнению Лапласа$$\frac {\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 u}{\partial y^2}=0, \frac {\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 v}{\partial y^2}=0,$$ т. е. являются гармоническими функциями. Связи с конформными отображениями и гармонич. функциями лежат в основе многих приложений теории А. ф.
Всё сказанное выше относилось к однозначным А. ф. $f$, рассматриваемым в данной области $D$. Задаваясь вопросом о возможности продолжения $f$ как А. ф. в большую область, приходят к понятию А. ф., рассматриваемой во всей своей естественной области существования (см. Аналитическое продолжение). Такая А. ф., вообще говоря, оказывается многозначной, как, напр., $\sqrt[n]z$ , $\ln z$, $\arcsin z$ и $\arctan z$, алгебраич. функции. К необходимости изучения многозначных А. ф. приводят мн. вопросы теории функций.
Понятие А. ф. нескольких переменных вводится с помощью кратных степенных рядов или условий Коши – Римана, совершенно аналогично тому, как это было сделано выше для А. ф. одного переменного. А. ф. нескольких комплексных переменных по своим свойствам во многом аналогичны А. ф. одного комплексного переменного, однако они обладают и рядом принципиально новых свойств.