СТЕПЕННО́Й РЯД
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
СТЕПЕННО́Й РЯД, функциональный ряд $$a_0+a_1z+...+A_n a^n + ... = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n,$$где коэффициенты $a_0,a_1,...,a_n,...,$ – комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного $z$. Областью сходимости С. р. является открытый (в общем случае) круг $D=\{z:∣z∣QR\}$ с центром в точке $z=0$. Этот круг называется кругом сходимости С. р., а его радиус $R$ – радиусом сходимости С. р. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в точку $z=0$ (в этом случае $R=0$; пример даёт С. р. $1+1!z+ ... +n!z^n+ ... $) или совпадать со всей комплексной плоскостью (в этом случае $R=∞$; пример даёт С. р. $1+\frac{z}{1!}+...+\frac{z^n}{n!}$). Для действительных $z$ круг сходимости превращается в интервал сходимости на действительной оси. Радиус сходимости С. р. вычисляется через его коэффициенты по формуле Коши – Адамара $$\frac{1}{R} =\overline{\lim}_{n\rightarrow\infty} \left| a_n \right|^{1/n}.$$ Во всех точках круга сходимости С. р. сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности $∣z∣=R$) С. р. может как сходиться, так и расходиться, примеры дают С. р. $1+z+ ... +z^n+ ...$, для которого $R=1$, этот С. р. расходится в каждой точке окружности $∣z∣=1$, и С. р. $$1+\frac{z}{1^2}+...+\frac{z^n}{n^2}+...,$$ для которого $R=1$ и который сходится во всех точках окружности $∣z∣=1$. В любой внешней точке круга сходимости (т. е. при ∣z∣ > R) С. р. расходится. Внутри круга сходимости сумма С. р. $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$$ является аналитической функцией; производные любого порядка функции $f(x)$ можно получить почленным дифференцированием данного ряда, при этом сам С. р. совпадает с Тейлора рядом своей суммы.