ПРОСТЫ́Х ЧИ́СЕЛ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

ПРОСТЫ́Х ЧИ́СЕЛ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, ут­вер­жде­ния об асим­пто­ти­че­ском по­ве­де­нии функ­ции $π(x)$, где $π(x)$ – ко­ли­че­ст­во про­стых чи­сел, не пре­вос­хо­дя­щих $x$, $x\gt 0$, при $x→∞$. Изу­че­ние на­чаль­ных от­рез­ков по­сле­до­ва­тель­но­сти про­стых чи­сел по­ка­зы­ва­ет, что с уве­ли­че­ни­ем $x$ она ста­но­вит­ся в сред­нем бо­лее ред­кой. Су­ще­ст­ву­ют сколь угод­но длин­ные от­рез­ки по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чи­сел, сре­ди ко­то­рых нет ни од­но­го про­сто­го чис­ла. В то же вре­мя встре­ча­ют­ся про­стые чис­ла, раз­ность ме­ж­ду ко­то­ры­ми рав­на двум (они на­зы­ва­ют­ся близ­не­ца­ми). Таб­ли­цы про­стых чи­сел, мень­ших 11 мил­лио­нов, по­ка­зы­ва­ют на­ли­чие весь­ма боль­ших близ­не­цов, та­ки­ми яв­ля­ют­ся, напр., 10006427 и 10006429. Тео­ре­ма Евк­ли­да (см. Про­стое чис­ло) ут­вер­жда­ет, что $π(x)→∞$ при $x→∞$. Л. Эй­лер в 1737 ввёл дзе­та-функ­цию $$ζ(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s},$$ $s=σ+it$, $σ>0$, и до­ка­зал, что $$\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}=\prod_p\left( (1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1},$$ где сум­ми­ро­ва­ние про­во­дит­ся по всем на­ту­раль­ным, а про­из­ве­де­ние – по всем про­стым чис­лам. Это то­ж­де­ст­во и его обоб­ще­ния иг­ра­ют фун­дам. роль в тео­рии рас­пре­де­ле­ния про­стых чи­сел. Ис­хо­дя из не­го, Эй­лер до­ка­зал, что ряд $\sum\frac{1}{p}$ и про­из­ве­де­ние $\prod\left( 1-\frac{1}{p}\right)^{-1}$ по про­стым $p$ рас­хо­дят­ся, от­ку­да сле­ду­ет тео­ре­ма Евк­ли­да. Бо­лее то­го, Эй­лер ус­та­но­вил, что про­стых чи­сел «мно­го», ибо $π(x)>\ln x-1$, и в то же вре­мя поч­ти все на­ту­раль­ные чис­ла яв­ля­ют­ся со­став­ны­ми, т. к. $π(x)/x→0$ при $x→∞$.

П. Ди­рих­ле в 1837, изу­чая во­прос о бес­ко­неч­но­сти про­стых чи­сел в ариф­ме­тич. про­грес­си­ях $nk+l$, $n=0, 1, ...$, где $k$, $l$ – вза­им­но про­сты, рас­смот­рел ана­лог эй­ле­ро­ва про­из­ве­де­ния $$\prod_p \left(\ 1-\frac{χ(p)}{p^s}\right)^{-1},$$где $χ(p)$ удов­ле­тво­ря­ет ус­ло­ви­ям: не рав­на то­ж­де­ст­вен­но ну­лю, пе­рио­дич­на с пе­рио­дом $k$, и впол­не муль­ти­п­ли­ка­тив­на, т. е. $χ(nm)=c(n)χ(m)$ для лю­бых це­лых $n$, $m$. При $s>0$ спра­вед­лив ана­лог то­ж­де­ст­ва Эй­ле­ра $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{χ(n)}{n^s}=\prod_p\left(\ 1-\frac{χ(p)}{p^s}\right)^{-1}.$$Ряд сле­ва на­зы­ва­ет­ся Ди­рих­ле ря­дом. Изу­чая по­ве­де­ние та­ких ря­дов при $s→1+0$, Ди­рих­ле до­ка­зал свою тео­ре­му о бес­ко­неч­но­сти чис­ла про­стых чи­сел в ариф­ме­тич. про­грес­си­ях.

П. Л. Че­бы­шев в 1851–52 до­ка­зал, что су­ще­ст­ву­ют по­сто­ян­ные $a$ и $b$, та­кие, что$$a\frac{x}{\ln x}\lt π(x)\lt b\frac{x}{\ln x},$$где $\frac{\ln 2}{2}\lt a$ и $b<2\ln 2$, и ус­та­но­вил, что ес­ли су­ще­ст­ву­ет пре­дел $$\frac{π(x)\ln x}{x}$$при $x→∞$, то он ра­вен 1. В 1896 Ж. Ада­мар и Ш. Ла Вал­ле Пус­сен ус­та­но­ви­ли су­ще­ст­во­ва­ние это­го пре­де­ла.