ДИРИХЛЕ́ РЯД

ДИРИХЛЕ́ РЯД, функ­цио­наль­ный ряд ви­да $$\sum\nolimits^\infty_{n=1}\frac{a_n}{n^s},\qquad(*)$$где $a_n$ – ком­плекс­ные чис­ла, $s=σ+it$ – ком­плекс­ная пе­ре­мен­ная. Напр., ряд $$\sum\nolimits^\infty_{n=1}\frac{1}{n^s}$$ при $σ>1$ пред­став­ля­ет со­бой дзе­та-­функ­цию.

Тео­рия Д. р. воз­ник­ла под влия­ни­ем ана­ли­тич. тео­рии чи­сел. Впо­след­ст­вии она раз­ви­лась в отд. раз­дел тео­рии ана­ли­тич. функ­ций. В слу­чае ко­гда $s$ – дей­ст­вит. пе­ре­мен­ная, ря­ды (*) суть т. н. $L$-ря­ды Ди­рих­ле $$L(s)=\sum\nolimits^\infty_{n=1}\frac{χ(n)}{n^s},$$ где $χ(n)$ – функ­ции, на­зы­вае­мые ха­рак­те­ра­ми Ди­рих­ле, ко­то­рые ис­поль­зу­ют­ся при изу­че­нии рас­пре­де­ле­ния про­стых чи­сел в ариф­ме­тич. про­грес­си­ях. См. Про­стых чи­сел рас­пре­де­ле­ние.