Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ВИНОГРА́ДОВА МЕ́ТОД

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 5. Москва, 2006, стр. 352

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: А. А. Карацуба

ВИНОГРА́ДОВА МЕ́ТОД, ме­тод оце­нок три­го­но­мет­ри­че­ских сумм, ис­поль­зуе­мых в разл. за­да­чах тео­рии чи­сел. Три­го­но­мет­рич. сум­мой на­зы­ва­ет­ся ко­неч­ная сум­ма $S$ ви­да $$S=S(f)=\sum_{a< x\leqslant b}exp(2\pi if(x))$$Здесь $f(x)$ – ве­ще­ст­вен­ная функ­ция це­ло­чис­лен­но­го ар­гу­мен­та $x$, $exp(2πif(x)) = cos(2πf(x))+isin(2πf(x))$,$ \:i^2= –1$. Три­го­но­мет­рич. сум­ма­ми на­зы­ва­ют и та­кие сум­мы, в ко­то­рых сум­ми­ро­ва­ние ве­дёт­ся по це­лым чис­лам $x$ оп­ре­де­лён­ной ариф­ме­тич. при­ро­ды, напр. по про­стым чис­лам, по бес­квад­рат­ным чис­лам и т. д. И. М. Ви­но­гра­дов об­на­ру­жил (1928), что мн. про­бле­мы тео­рии чи­сел, та­кие, как ад­ди­тив­ные, т. е. про­бле­мы о раз­ре­ши­мо­сти урав­не­ний в це­лых чис­лах, ча­ст­ны­ми слу­чая­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся Ва­рин­га про­бле­ма и Гольд­ба­ха про­бле­ма, про­бле­мы о ко­ли­че­ст­ве то­чек с це­ло­чис­лен­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми в об­лас­тях на плос­ко­сти и в про­стран­ст­ве, про­бле­мы по­ве­де­ния дроб­ных до­лей ве­ще­ст­вен­ных функ­ций, про­бле­мы рас­пре­де­ле­ния про­стых чи­сел, про­бле­мы рас­пре­де­ле­ния сте­пен­ных вы­че­тов и не­вы­че­тов и др., мо­гут быть сфор­му­ли­ро­ва­ны на язы­ке три­го­но­мет­рич. сумм. При­ме­нив три­го­но­мет­рич. сум­мы для ре­ше­ния ад­ди­тив­ных про­блем, И. М. Ви­но­гра­дов от­крыл мощ­ный ана­ли­тич. ме­тод ре­ше­ния осн. про­блем тео­рии чи­сел. Об­щая схе­ма ме­то­да три­го­но­мет­рич. сумм Ви­но­гра­до­ва та­ко­ва. Вы­пи­сы­ва­ет­ся точ­ная фор­му­ла, вы­ра­жаю­щая чис­ло ре­ше­ний изу­чае­мо­го урав­не­ния, или чис­ло дроб­ных до­лей изу­чае­мой функ­ции, по­па­даю­щих на за­дан­ный ин­тер­вал, или чис­ло то­чек в за­дан­ной об­лас­ти, в ви­де ин­те­гра­ла от три­го­но­мет­рич. сумм, или ря­да, ко­эф­фи­ци­ен­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся три­го­но­мет­рич. сум­мы. Точ­ная фор­му­ла пред­став­ля­ет­ся сум­мой двух сла­гае­мых – глав­но­го и до­пол­ни­тель­но­го (напр., ес­ли рас­смат­ри­ва­ет­ся ряд Фу­рье ха­рак­те­ри­стической функ­ции ин­тер­ва­ла, то гл. сла­гае­мое по­лу­ча­ет­ся от ну­ле­во­го ко­эф­фи­ци­ен­та ря­да Фу­рье); гл. сла­гае­мое дос­тав­ля­ет гл. член фор­му­лы, до­пол­ни­тель­ное – ос­та­точ­ный член. Ос­нов­ной при оцен­ке ос­та­точ­но­го чле­на яв­ля­ет­ся про­бле­ма по­лу­че­ния воз­мож­но бо­лее точ­ных оце­нок верх­ней гра­ни мо­ду­ля воз­ни­каю­щих здесь три­го­но­мет­ри­че­ских сумм.

Лит.: Ви­но­гра­дов И. М. Избр. тру­ды. М., 1952; он же. Ме­тод три­го­но­мет­ри­че­ских сумм в тео­рии чи­сел. 2-е изд. М., 1980; он же. Осо­бые ва­ри­ан­ты ме­то­да три­го­но­мет­ри­че­ских сумм. 2-е изд. М., 2004; Хуа Ло-кен. Ме­тод три­го­но­мет­ри­че­ских сумм и его при­ме­не­ние в тео­рии чи­сел. М., 1964; Ви­но­гра­дов И. М., Ка­ра­цу­ба А. А. Ме­тод три­го­но­мет­ри­че­ских сумм в тео­рии чи­сел // Тру­ды Ма­те­ма­ти­че­ско­го ин­сти­ту­та АН СССР. 1984. Т. 168; Ар­хи­пов Г. И., Ка­ра­цу­ба А. А., Чу­ба­ри­ков А. А. Тео­рия крат­ных три­го­но­мет­ри­че­ских сумм. М., 1987; Ка­ра­цу­ба А. А. И. М. Ви­но­гра­дов и его ме­тод три­го­но­мет­ри­че­ских сумм // Тру­ды Ма­те­ма­ти­че­ско­го ин­сти­ту­та РАН. 1994. Т. 207.

Вернуться к началу