КИНЕМА́ТИКА
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
КИНЕМА́ТИКА (от греч. ϰίνημα, род. п. ϰινήματος – движение), раздел механики, в котором описываются геометрич. характеристики движения механического – движения материальных точек и их систем, абсолютно твёрдых тел и т. д. Соответственно выделяют разделы К.: К. материальной точки, К. системы точек, К. твёрдого тела и т. д.
Осн. понятия К. (мгновенная скорость и мгновенное ускорение материальной точки) были введены Г. Галилеем в фундам. труде «Беседы и математич. доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению» (1638). Галилей получил строгие математич. законы К. на основе обобщения эксперим. данных, установил принцип относительности (см. Галилея принцип относительности). Х. Гюйгенс (1672) конкретизировал принципы и понятия К., введённые Галилеем. Работы Гюйгенса послужили базой для создания механики И. Ньютона (1687). В 1765 Л. Эйлер заложил основы К. твёрдого тела. В нач. 19 в. Г. Кориолис дал окончательную формулировку теории относительного движения. С сер. 19 в. К. начала активно использоваться для описания преобразования движения в механизмах и выделилась в самостоятельный раздел теоретич. механики.
Кинематика материальной точки
Движение материальной точки описывается по отношению к выбранной системе координат $Oxyz$. Кинематич. характеристиками движения точки служат векторы $\boldsymbol r$, $\boldsymbol v$ и $\boldsymbol w$, задающие в момент времени $t$ соответственно мгновенное положение, мгновенную скорость и мгновенное ускорение точки: $\boldsymbol r(t)=\{x(t),y(t),z(t)\}, \boldsymbol v(t)=d \boldsymbol r/dt=\{dx/dt, dy/dt, dz/dt \}$ и $\boldsymbol w(t)=d^2 \boldsymbol r/dt^2=\{d^2x/dt^2, d^2y/dt^2, d^2z/dt^2\}$. Кроме прямоугольных координат ($x,y,z$) в К. для описания движения точки используются также и криволинейные координаты (цилиндрические, полярные, сферические и т. п.).
Геометрич. место последовательных положений точки в процессе её движения называется траекторией. Соотношение $\boldsymbol r=\boldsymbol r(t)$ представляет собой параметрич. форму уравнения траектории как некоторой кривой в пространстве. Закон движения материальной точки может быть также определён формой траектории, её положением в пространстве, положением начальной точки $O$ на траектории и положительным направлением отсчёта дуговой координаты $s$ от начальной точки до её текущего значения.
Уравнение $s=s(t)$ определяет закон движения точки по траектории. Скорость материальной точки равна $\boldsymbol v=\boldsymbol \tau ds/dt$, где $\boldsymbol \tau$ – единичный вектор касательной к траектории в некоторой точке $M$. В дифференциальной геометрии вводятся три взаимно ортогональных единичных вектора: $\boldsymbol \tau$, $\boldsymbol n$ (вектор главной нормали к кривой) и вектор бинормали $\boldsymbol \beta=[\boldsymbol \tau, \boldsymbol n]$. Векторы $\boldsymbol \tau$ и $\boldsymbol n$ определяют соприкасающуюся плоскость в точке $M$ траектории.
Ускорение точки выражается формулой $\boldsymbol w(t)=d \boldsymbol v/dt=d^2 \boldsymbol r/dt^2=\boldsymbol \tau dv/dt+\boldsymbol n v^2/R$. Здесь полное ускорение точки представлено в виде суммы двух взаимно ортогональных векторов – касательного ускорения $\boldsymbol w_\tau$ (первое слагаемое) и центростремительного ускорения $\boldsymbol w_n$ (второе слагаемое), направленного вдоль главной нормали к траектории в сторону центра кривизны, отстоящего от точки $M$ на расстояние $R$. Проекция вектора ускорения на бинормаль всегда равна нулю.
Для траектории, представляющей собой прямую, в любой её точке расстояние $R= \infty$; такое движение материальной точки называется прямолинейным. Если величина скорости материальной точки остаётся постоянной $[v(t)=\text {const} \neq0]$, то такое её движение называется равномерным. Если касательное ускорение точки постоянно $(dv(dt)=\text {const} \neq0)$, то такое движение называется равноускоренным.
Путь, пройденный точкой в её движении вдоль траектории, определяется как интеграл по времени от модуля скорости. Величина пути монотонно возрастает, в то время как координата точки может то возрастать, то уменьшаться. Напр., при незатухающих колебаниях математич. маятника путь колеблющейся материальной точки непрерывно возрастает, а её дуговая координата принимает значения, ограниченные амплитудой $A$ колебаний (от $-A$ до $+A$).
Кинематика относительного движения
Система координат $Oxyz$, относительно которой рассматривается движение материальной точки $M$, может быть связана с некоторым телом, которое само движется относительно неподвижной системы $Ox_1y_1z_1$. В этом случае скорость и ускорение точки $M$ относительно системы $Oxyz$ называют относительными и обозначают соответственно $\boldsymbol v_{отн}$ и $\boldsymbol w_{отн}$. Движение той же материальной точки относительно системы $Ox_1y_1z_1$ называют абсолютным, его скорость и ускорение обозначают $\boldsymbol v_{абс}$ и $\boldsymbol w_{абс}$. При отсутствии относительного движения $(v_{отн}=0)$ точка $M$ переносится движущимся телом, с которым связана система $Oxyz$, и её скорость совпадает со скоростью $\boldsymbol v_{пер}$ той точки $N$ тела, в которой в данный момент находится точка $M$: $\boldsymbol r_N(t)=\boldsymbol r_M(t)$, но не тождественно (т. к. речь идёт о независимых точках). Вектор $\boldsymbol v_{пер}=d \boldsymbol r_N/dt$ называется переносной скоростью или скоростью переносного движения. Формула $\boldsymbol v_{абс}=\boldsymbol v_{отн}+ \boldsymbol v_{пер}$ выражает т. н. теорему сложения скоростей. Ускорение точки $N$ называют переносным и обозначают $\boldsymbol w_{пер}$. Сложение ускорений описывается теоремой Кориолиса: $\boldsymbol w_{абс}=\boldsymbol w_{отн}+ \boldsymbol w_{пер}+ \boldsymbol w_{Кор}$. Здесь дополнительное слагаемое $\boldsymbol w_{Кор}$ (Кориолиса ускорение) возникает в том случае, если система $Oxyz$ вращается относительно системы $O_1x_1y_1z_1$: $\boldsymbol w_{Кор}=2[\boldsymbol \omega, \boldsymbol v_{отн}]$, где $\boldsymbol \omega$ – вектор угловой скорости подвижной системы координат.
Кинематика систем связанных точек и тел
Машины, механизмы и др. объекты техники часто моделируют системой связанных материальных точек и тел (см. Связи механические). В системе со связями положения и скорости разл. точек системы не могут быть заданы произвольно. Первой задачей К. таких систем является формализация связей, которые записывают в виде уравнений связей – полного набора независимых соотношений между координатами точек системы. Вторая задача К. систем связанных точек и тел сводится к сокращению числа величин, необходимых для полного описания движения объекта. Для этого из общего числа величин исключают те, которые выражаются через другие величины при помощи уравнений связей. Последняя задача нередко решается с помощью подходящего выбора обобщённых координат.
Обе задачи К. допускают неоднозначные решения. Из всех решений выбираются такие, которые позволяют придать системе дифференциальных уравнений движения объекта наиболее удобную форму. В теории машин и механизмов, кроме того, необходимо связать входные и выходные характеристики движения (cм. Кинематика механизмов).
Кинематика твёрдого тела
В этом разделе К. рассматриваются разл. типы движений абсолютно твёрдого тела. Под абсолютно твёрдым телом понимают систему материальных точек, взаимное положение которых не изменяется. Осн. задача К. твёрдого тела – определение скоростей и ускорений всех его точек.
С геометрич. точки зрения движение абсолютно твёрдого тела относительно неподвижной системы координат $O_1x_1y_1z_1$ с началом в точке $O_1$ эквивалентно движению связанной с этим телом системы $Oxyz$ с началом в произвольно выбранной точке $O$ тела. Положение тела однозначно определяется положением трёх его точек, не лежащих на одной прямой. Положение трёх точек в системе $O_1x_1y_1z_1$ задаётся с помощью девяти координат, на которые наложены три условия постоянства взаимных расстояний между точками. Это сокращает число независимых величин (определяющих макс. число степеней свободы тела) до шести. Дополнит. ограничения на движение тела уменьшают число степеней свободы и определяют тип движения тела. Так, при фиксированных координатах указанных точек тело находится в состоянии покоя относительно системы $O_1x_1y_1z_1$.
Поступательное движение тела. Движение твёрдого тела называют поступательным, если каждый прямолинейный отрезок, состоящий из точек тела, перемещается параллельно самому себе. В этом случае оси системы координат, связанной с телом, можно расположить сонаправленно осям неподвижной системы. Скорость и ускорение любой точки тела равны соответственно скорости и ускорению точки $O$ (начала системы координат, связанной с телом). Точка $O$ может двигаться как по прямой, так и по плоской или пространственной кривой. Напр., вагон поезда на прямом участке пути движется поступательно и прямолинейно. Кабина колеса обозрения тоже движется поступательно, но её точки описывают окружности.
Тело, движущееся поступательно, имеет три степени свободы (столько же, сколько у материальной точки), для описания его движения достаточно задать три независимые координаты.
Вращение тела вокруг оси. При вращательном движении тела связанная с ним система координат изменяет свою ориентацию относительно неподвижной системы, т. е. совершает поворот. Наиболее простой случай вращательного движения – вращения тела вокруг неподвижной оси. Для описания такого движения три точки тела выбирают следующим образом: две точки – на оси вращения, а третью – вне этой оси. При движении тела две первые точки не изменяют своего положения относительно неподвижной системы координат, а третья точка описывает окружность с центром на оси вращения. Т. о., тело имеет одну степень свободы, его положение определяется одной координатой – углом $\phi$ между текущим положением плоскости трёх выбранных точек и плоскостью $Ox_1z$, определяющей положение неподвижной системы координат. Уравнение $\phi=\phi(t)$ задаёт закон вращения тела вокруг неподвижной оси. Кинематич. характеристиками этого движения служат угловая скорость $\omega(t)=d \phi/dt$ и угловое ускорение $\varepsilon=d\omega/dt=d^2 \phi/dt^2$.
Скорость $\boldsymbol v_N$ произвольной точки $N$ тела, не принадлежащей оси вращения, направлена по касательной к соответствующей окружности и равна $v_N=\omega R_N$, где $R_N$ – расстояние от точки $N$ до оси вращения. Вектор ускорения $\boldsymbol w_N$ точки может быть представлен в виде суммы векторов касательного ускорения $\boldsymbol w_\tau$ и центростремительного ускорения $\boldsymbol w_n$, причём $w_\tau=\varepsilon R_N=dv_N/dt$, $w_n=\omega^2R_N=v^2_N/R_N$.
Данный раздел К. твёрдого тела используют для описания разл. механизмов, содержащих вращающиеся элементы (роторы, турбины, колёса).
При более сложных вращательных движениях учитывается прецессия оси вращения. В этом случае вращательное движение тела может быть представлено суперпозицией двух простых вращений: тело вращается вокруг своей оси $Oz$, которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной оси $Oz_1$. Тогда ориентация тела в пространстве определяется тремя координатами – т. н. Эйлера углами [$\psi(t)$ – угол прецессии, $\phi(t)$ – угол собственного вращения, $\theta$ – постоянный угол нутации].
Вращение тела вокруг неподвижной точки. При произвольном вращении тела вокруг неподвижной точки $O$ все три угла Эйлера зависят от времени, причём движение тела нельзя свести к двум простым вращениям. Как показал Л. Эйлер, для описания данного движения можно найти такой вектор $\omega$ (называемый мгновенной угловой скоростью тела), что скорость $\boldsymbol v_N$ точки $N$ тела определяется формулой $\boldsymbol v_N=\boldsymbol [\omega, \boldsymbol r_N]$. Те точки тела, для которых векторы $\boldsymbol r_N$ и $\boldsymbol \omega$ коллинеарны, образуют мгновенную ось вращения тела (мгновенная скорость этих точек равна нулю). Вектор $\boldsymbol \omega=\{\omega_x, \omega_y, \omega_z \}$ представляет собой геометрич. сумму трёх векторов: $\boldsymbol e_1d\psi/dt$ – угловая скорость прецессии (орт $\boldsymbol e_1$ неизменен в неподвижной системе координат), $\boldsymbol e_2d\phi/dt$ – угловая скорость собственного вращения (орт $\boldsymbol e_2$ неизменен относительно тела), $\boldsymbol e_3d\theta/dt$ – угловая скорость нутации (орт $\boldsymbol e_3$ вращается вокруг $\boldsymbol e_1$). Движение твёрдого тела относительно неподвижной точки описывается следующими кинематическими Эйлера уравнениями: $$\omega_x=(d\theta/dt)\cos \phi - (d \psi /dt)\sin \theta \sin \phi;\\ \omega_y=(d\theta/dt)\sin \phi - (d \psi /dt)\sin \theta \cos \phi;\\ \omega_z=d\phi/dt+(d\psi/dt)\cos \theta.$$
Кроме углов Эйлера для описания вращательного движения тела могут быть использованы и др. параметры: углы Крылова, параметры Родрига – Гамильтона и т. п. Ускорение $\boldsymbol w_N$ точки $N$ тела вычисляется по формуле Ривальса: $\boldsymbol w_N=[d\boldsymbol\omega/dt, \boldsymbol r_N]+[\boldsymbol\omega,[\boldsymbol\omega,\boldsymbol r_N]]$.
Произвольное движение тела. Произвольное движение твёрдого тела можно разложить на две составляющие: поступательное движение со скоростью $\boldsymbol v_O$ некоторой точки $O$ тела и вращение вокруг этой точки с угловой скоростью $\boldsymbol \omega$. Замена точки $O$ на др. точку, напр. точку $N$, вносит изменение в описание этого же движения. Вообще говоря, изменяется направление и величина скорости $\boldsymbol v_N$ поступательного движения, но не изменяется угловая скорость $\boldsymbol \omega$ вращения, совершаемого теперь вокруг точки $N$. Если $\omega \neq 0$ и $(\boldsymbol v_O, \boldsymbol \omega) \neq 0$, в теле существует множество точек, для которых векторы $\boldsymbol v$ и $\boldsymbol \omega$ коллинеарны. Эти точки образуют мгновенную винтовую ось движения тела (см. Винтовое движение).
Плоскопараллельное движение тела. Тело совершает плоскопараллельное движение, если скорости всех его точек в любой момент времени параллельны некоторой неподвижной плоскости. Спроектировав тело на эту плоскость, получим плоскую фигуру, движение которой по плоскости эквивалентно движению тела. Если в этом движении $w(t) \neq0$, то вектор $\boldsymbol \omega$ ортогонален указанной плоскости, $(\boldsymbol v_O, \boldsymbol \omega) \neq 0$ и ось мгновенного винта пересекает фигуру в мгновенном центре вращения. Если $\omega=0$, но $v_O \neq 0$, то тело находится в состоянии мгновенно поступательного движения.
К. сплошных сред (деформируемого тела, несжимаемой и сжимаемой жидкости) требует более сложных процедур описания: рассматривается общая теория деформаций, определяются т. н. уравнения неразрывности и т. д. (см. Механика сплошной среды, Механика жидкости и газа).