СТАТИСТИ́ЧЕСКАЯ ФИ́ЗИКА
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
СТАТИСТИ́ЧЕСКАЯ ФИ́ЗИКА, раздел физики, в котором на основе статистических (вероятностных) представлений описываются свойства физич. объектов любой природы, находящихся в тепловом контакте с внешним окружением (напр., термостатом с фиксированной температурой $T_0$). В общем случае С. ф. является неравновесной (её полная теория пока отсутствует), однако в случае теплового (термодинамического) равновесия между объектом и термостатом существует детально и окончательно разработанная равновесная статистич. физика.
Статистич. характер описания физич. объекта в рамках С. ф. (в отличие от более полного и информативного динамического) обусловлен неконтролируемым (вероятностным, стохастическим) влиянием окружающей среды (термостата), что предполагает выполнение условия $f_{окр} ≫ f_{об}$; здесь $f_{окр}$ и $f_{об}$ – числа степеней свободы окружающей среды и объекта соответственно. Связь с экспериментально наблюдаемыми физич. величинами в С. ф. реализуется посредством усреднения микро- или макроскопич. характеристик объекта по времени. Связь между динамич. и статистич. описанием определяется эргодической гипотезой, которая позволяет заменить усреднение по времени усреднением по статистическому ансамблю.
Равновесная С. ф. включает в себя два подхода – статистическую механику, созданную Дж. Гиббсом для классич. объектов в 1902 и обобщённую для квантовых объектов Дж. фон Нейманом в 1927, и статистическую термодинамику, построенную А. Эйнштейном в 1903–04 и завершённую Л. Силардом в 1925. Оба подхода С. ф. физически и математически эквивалентны, а конкретный выбор подхода определяется физич. постановкой задачи.
Как правило, описываемые в С. ф. объекты являются макроскопическими и состоят из большого числа (порядка Авогадро числа, 1023) микрочастиц (молекул, атомов, ионов, электронов и т. п.), однако в рамках С. ф. вполне возможно также рассмотрение находящихся в термостате одиночных частиц или выделенных мод электромагнитного излучения. Выбор классич. или квантового описания определяется внешними физич. условиями, напр. значениями темп-ры $T_0$ по сравнению с темп-рой квантового вырождения для данного объекта.
В отличие от соотношений классич. (или феноменологической) термодинамики, имеющих универсальный характер для всех объектов, соотношения С. ф. различны для разл. классов объектов, напр. классич. и квантовых идеальных или неидеальных газов, магнитных (спиновых) систем, теплового излучения и т. п., и требуют информации о внутр. свойствах конкретного объекта, прежде всего о микроскопич. свойствах этих частиц – их массы, заряда, спина и т. п.
Функции распределения
Осн. инструмент описания в С. ф. – статистич. функции распределения $w$, которые в рамках статистич. механики определены в фазовом пространстве обобщённых координат $q$ и импульсов $p$ объекта, а в рамках статистич. термодинамики – в пространстве макроскопич. переменных объекта (напр., полной энергии $ℰ$, объёма $V$, числа частиц $N$ и т. п.). Важное значение для С. ф. имеет вид полной энергии $ℰ$ объекта, пространственно ограниченного стенками, с конечным объёмом $V_0$. В предположении об аддитивности энергии полная энергия объекта$$ℰ(p,q;V_0)=\\=ℰ_к(р)+ℰ_п(q)+ℰ_{вн}(q;V_0)\tag{1}$$ состоит из суммы кинетич. энергий $ℰ_к(р)=[ℰ_0^2+(cp)^2]^{1/2}$ всех частиц с импульсами $р$ ($ℰ_0=m_0c^2$, $m_0$ – масса объекта, $c$ – скорость света в вакууме) и потенциальной энергии $ℰ_п(q)$, которая определяется видом взаимодействия между частицами этого объекта; энергия $ℰ_{вн}(q;V_0)$ определяется взаимодействием частиц объекта с внешней стенкой (как правило, абсолютно твёрдой и непроницаемой для частиц).
Согласно осн. положениям С. ф., если для физич. объекта применимо классич. описание, а его энергия аддитивна, то функция распределения имеет канонический (экспоненциальный) вид:$$w(q,p;V_0,T_0) =\\= Z^{–1}(V_0,T_0)\exp[–ℰ(p,q;V_0)/kT_0],\\ \int w (q,p;V_0,T_0)dpdq\equiv 1;\tag{2}$$ $$Z(V_0,T_0)=\int \exp[–ℰ(p,q;V_0)/kT_0]dpdq,\\ F(V_0,T_0)=–kT_0\ln Z(V_0,T_0),\tag{3}$$где $Z(V_0,T_0)$ – статистич. интеграл, играющий роль нормировочного множителя для функции распределения $w$ для любых значений объёма $V_0$ и темп-ры $T_0$, заданных внешними условиями; $k$ – постоянная Больцмана. Т. о., выражения (2) и (3) в рамках С. ф. определяют термодинамич. свойства физич. объекта посредством одного из потенциалов термодинамических – свободной энергии $F(V_0,T_0)$. В частном случае идеального газа с учётом только кинетич. энергии частиц $ℰ_к(р)≈p^2/(2m_0)$ (в нерелятивистском приближении), $ℰ_п(q)=ℰ_{вн}(q;V_0)=0$, распределение (2) было получено Дж. Максвеллом в 1859, а с учётом потенциальной энергии во внешнем поле $ℰ_{вн}(q;V_0)$ – Л. Больцманом в 1871.
Если для объекта в данных физич. условиях необходимо квантовое описание, то принципиальная схема описания остаётся той же, однако вычислит. часть становится существенно сложнее. Функция распределения по квантовым состояниям, определяемым совокупностью квантовых чисел $\{n, α\}$ ($n$ – гл. квантовое число, $α$ – совокупность остальных квантовых чисел), имеет вид (при суммировании для ферми-частиц учитывается Паули принцип): $$w_{n,α}(V_0,T_0)=\exp \{[F(V_0,T_0)-ℰ_{n,α}(V_0)]/kT_0\},\\ \sum_{n,α}w_{n,α}(V_0,T_0)\equiv1. \tag{4}$$ Здесь $ℰ_{n,α}(V_0)$ – энергетич. спектр физич. объекта, определяемый посредством решения стационарного Шрёдингера уравнения (с учётом граничных условий) с операторным аналогом выражения (1) для энергии.
Во многих практически важных случаях спектр $ℰ_{n,α}$ фактически зависит только от гл. квантового числа $n$, т. е. имеет место вырождение по др. квантовым числам α с кратностью $g_n ⩾ 1$. Тогда формула (4) принимает вид$$w_n(V_0,T_0)=\\=g_n \exp \{[F(V_0,T_0)-ℰ_{n,α}(V_0)]/kT_0\},\\ \sum_n w_n(V_0,T_0)\equiv 1, \tag{5}$$ одинаковый как в статистич. механике, так и в статистич. термодинамике квантового объекта. Соответственно, аналог выражения (5) для классич. объекта может быть получен из формул (2) и (3) посредством введения структурной функции, или плотности состояний, $g(ℰ) > 1$, причём $g(ℰ)dℰ$ – число разл. состояний объекта в фазовом пространстве, приходящихся на малый интервал энергий $dℰ$. Существенно, что имеется связь $S_B(ℰ)=k \ln g(ℰ)$, где $S_B(ℰ)$ – энтропия Больцмана. Тогда в рамках статистич. термодинамики имеет место выражение $$w(ℰ;V_0,T_0)=\\= \exp \{[F(V_0,T_0)-S_B(ℰ )T_0-ℰ_{n,α} (V_0)]/kT_0\},\\ \int dpdq(...) = \int g(ℰ)dℰ(...). \tag{6}$$
Средние значения и корреляционные функции
Описание объектов в рамках С. ф. позволяет находить не только свободную энергию $F(V_0,T_0)$, но и ср. значения$$\overline{A(V_0,T_0)} = \\ = \int dpdqA(p,q) \exp \{ [F(V_0,T_0) - ℰ(p,q; V_0)]/kT_0 \}$$динамич. величин $A(p,q)$, зависящих, как правило, от координат и импульсов не всех частиц, а лишь одной (одночастичные величины – напр., кинетич. энергия) или пáры частиц (двухчастичные величины – напр., потенциальная энергия взаимодействия). Аналогично, важными характеристиками в рамках С. ф. являются дисперсии $σ^2_{AA} = [\overline{\Delta A}]^2$, где $\Delta A = A(p,q) - \overline{A(V_0,T_0)}$ – флуктуация, или случайное отклонение от среднего, величины $A(p,q)$, а также корреляционные функции $σ_{AB}=\overline{\Delta A \Delta B}$ для пар динамич. величин $A(p,q)$ и $B(p,q)$. Существенно, что корреляционная матрица (набор всех $σ_{AA}$ и $σ_{AB}$) в статистич. термодинамике пропорциональна матрице обобщённых восприимчивостей $χ_{AA}$ и $χ_{AB}$ классич. термодинамики. Как правило, относит. флуктуации $σ_{AA}^2/\overline{A}^2 \propto 1/\sqrt{N}$для любых величин $A$ малы для макроскопич. объектов, однако играют важную роль вблизи критич. точек $Т_{кр}$ фазовых переходов, где обобщённые восприимчивости обнаруживают аномальный рост.
Для расчёта ср. величин и корреляционных функций полная функция распределения (2) содержит избыточную информацию и вполне достаточно ограничиться $r$-частичными $(r=1,2,...)$ функциями распределения $w_r$, представляющими собой условные вероятности, или полную функцию распределения $w_N$ (2), проинтегрированную по всем остальным $N-r$ пáрам переменных фазового пространства ($N$ – полное число частиц объекта).
Кинетические уравнения
Для набора $r$-частичных функций распределения существует цепочка кинетич. уравнений, определяемая взаимодействием частиц и позволяющая при определённых приближениях найти явный вид одно- и двухчастичных функций распределения.
В неравновесной С. ф. все функции распределения $w_r$ приобретают явную зависимость от времени $t$, причём, как и в равновесном случае, для величин $𝜕w_r/𝜕t$ имеет место цепочка кинетич. уравнений, решение которых в пределе $t→∞$ (фактически уже при $t ≫ τ$, где $τ$ – время термодинамич. релаксации) воспроизводит набор канонич. $r$-частичных функций распределения. Существенно, что в ходе временнóй эволюции энтропия объекта $S(t)$ растёт в соответствии со вторым началом термодинамики; впервые такой подход сформулировал Л. Больцман в 1871, получивший Максвелла распределение в качестве решения своего уравнения для случая идеального классич. газа. В совр. равновесной и неравновесной С. ф. используются математич. методы, заимствованные из квантовой теории поля, т. к. объекты в этих разделах физики обладают очень большим числом степеней свободы.
Приложения
Приложения С. ф. к конкретным физич. объектам многочисленны и разнообразны – см. Идеальный газ, Квантовый газ, Жидкость, Твёрдое тело, Металлы, Плазма, Тепловое излучение, Бозе – Эйнштейна статистика, Ферми – Дирака статистика, Квазичастицы, Кинетика физическая, Фазовый переход.