СТАТИСТИ́ЧЕСКАЯ ФИ́ЗИКА

СТАТИСТИ́ЧЕСКАЯ ФИ́ЗИКА, раз­дел фи­зи­ки, в ко­то­ром на ос­но­ве ста­ти­сти­че­ских (ве­ро­ят­но­ст­ных) пред­став­ле­ний опи­сы­ва­ют­ся свой­ст­ва фи­зич. объ­ек­тов лю­бой при­ро­ды, на­хо­дя­щих­ся в те­п­ло­вом кон­так­те с внеш­ним ок­ру­же­ни­ем (напр., тер­мо­ста­том с фик­си­ро­ван­ной тем­пе­ра­ту­рой $T_0$). В об­щем слу­чае С. ф. яв­ля­ет­ся не­рав­но­вес­ной (её пол­ная тео­рия по­ка от­сут­ст­ву­ет), од­на­ко в слу­чае те­п­ло­во­го (тер­мо­ди­на­ми­че­ско­го) рав­но­ве­сия ме­ж­ду объ­ек­том и тер­мо­ста­том су­ще­ст­ву­ет де­таль­но и окон­ча­тель­но раз­ра­бо­тан­ная рав­но­вес­ная ста­ти­стич. фи­зи­ка.

Ста­ти­стич. ха­рак­тер опи­са­ния фи­зич. объ­ек­та в рам­ках С. ф. (в от­ли­чие от бо­лее пол­но­го и ин­фор­ма­тив­но­го ди­на­миче­ско­го) обу­слов­лен не­кон­тро­ли­руе­мым (ве­ро­ят­но­ст­ным, сто­хас­ти­че­ским) влия­ни­ем ок­ру­жаю­щей сре­ды (тер­мо­ста­та), что пред­по­ла­га­ет вы­пол­не­ние ус­ло­вия $f_{окр} ≫ f_{об}$; здесь $f_{окр}$ и $f_{об}$ – чис­ла сте­пе­ней сво­бо­ды ок­ру­жаю­щей сре­ды и объ­ек­та со­от­вет­ст­вен­но. Связь с экс­пе­ри­мен­таль­но на­блю­дае­мы­ми фи­зич. ве­ли­чи­на­ми в С. ф. реа­ли­зу­ет­ся по­сред­ст­вом ус­ред­не­ния мик­ро- или мак­ро­ско­пич. ха­рак­те­ри­стик объ­ек­та по вре­ме­ни. Связь ме­ж­ду ди­на­мич. и ста­ти­стич. опи­са­ни­ем оп­ре­де­ля­ет­ся эр­го­ди­че­ской ги­по­те­зой

, ко­то­рая по­зво­ля­ет за­ме­нить ус­ред­не­ние по вре­ме­ни ус­ред­не­ни­ем по ста­ти­сти­че­ско­му ан­самб­лю

 >>

.

Рав­но­вес­ная С. ф. вклю­ча­ет в се­бя два под­хо­да – ста­ти­сти­че­скую ме­ха­ни­ку, соз­дан­ную Дж. Гиб­бсом

для клас­сич. объ­ек­тов в 1902 и обоб­щён­ную для кван­то­вых объ­ек­тов Дж. фон Ней­ма­ном

 >>

в 1927, и ста­ти­сти­че­скую тер­мо­ди­на­ми­ку, по­стро­ен­ную А. Эйн­штей­ном

 >>

в 1903–04 и за­вер­шён­ную Л. Си­лар­дом

 >>

в 1925. Оба под­хо­да С. ф. фи­зи­че­ски и ма­те­ма­ти­че­ски эк­ви­ва­лент­ны, а кон­крет­ный вы­бор под­хо­да оп­ре­де­ля­ет­ся фи­зич. по­ста­нов­кой за­да­чи.

Как пра­ви­ло, опи­сы­вае­мые в С. ф. объ­ек­ты яв­ля­ют­ся мак­ро­ско­пи­че­ски­ми и со­сто­ят из боль­шо­го чис­ла (по­ряд­ка Аво­гад­ро чис­ла

, 10²³) мик­ро­час­тиц (мо­ле­кул, ато­мов, ио­нов, элек­тро­нов и т. п.), од­на­ко в рам­ках С. ф. впол­не воз­мож­но так­же рас­смот­ре­ние на­хо­дя­щих­ся в тер­мо­ста­те оди­ноч­ных час­тиц или вы­де­лен­ных мод элек­тро­маг­нит­но­го из­лу­че­ния. Вы­бор клас­сич. или кван­то­во­го опи­са­ния оп­ре­де­ля­ет­ся внеш­ни­ми фи­зич. ус­ло­вия­ми, напр. зна­че­ния­ми темп-ры $T_0$ по срав­не­нию с темп-рой кван­то­во­го вы­ро­ж­де­ния для дан­но­го объ­ек­та.

В от­ли­чие от со­от­но­ше­ний клас­сич. (или фе­но­ме­но­ло­ги­че­ской) тер­мо­ди­на­ми­ки, имею­щих уни­вер­саль­ный ха­рак­тер для всех объ­ек­тов, со­от­но­ше­ния С. ф. раз­лич­ны для разл. клас­сов объ­ек­тов, напр. клас­сич. и кван­то­вых иде­аль­ных или не­иде­аль­ных га­зов, маг­нит­ных (спи­но­вых) сис­тем, те­п­ло­во­го из­лу­че­ния и т. п., и тре­бу­ют ин­фор­ма­ции о внутр. свой­ст­вах кон­крет­но­го объ­ек­та, пре­ж­де все­го о мик­ро­ско­пич. свой­ст­вах этих час­тиц – их мас­сы, за­ря­да, спи­на и т. п.

Функции распределения

Осн. ин­ст­ру­мент опи­са­ния в С. ф. – ста­ти­стич. функ­ции рас­пре­де­ле­ния $w$, ко­то­рые в рам­ках ста­ти­стич. ме­ха­ни­ки оп­ре­де­лены в фа­зо­вом про­стран­ст­ве обоб­щён­ных ко­ор­ди­нат $q$ и им­пуль­сов $p$ объ­екта, а в рам­ках ста­ти­стич. тер­мо­ди­нами­ки – в про­стран­ст­ве мак­ро­ско­пич. пе­ре­мен­ных объ­ек­та (напр., пол­ной энер­гии $ℰ$, объ­ё­ма $V$, чис­ла час­тиц $N$ и т. п.). Важ­ное зна­че­ние для С. ф. име­ет вид пол­ной энер­гии $ℰ$ объ­ек­та, про­стран­ст­вен­но ог­ра­ни­чен­но­го стен­ка­ми, с ко­неч­ным объ­ё­мом $V_0$. В пред­по­ло­же­нии об ад­ди­тив­но­сти энер­гии пол­ная энер­гия объ­ек­та $$ℰ(p,q;V_0)=\\=ℰ_к(р)+ℰ_п(q)+ℰ_{вн}(q;V_0)\tag{1}$$ со­сто­ит из сум­мы ки­не­тич. энер­гий $ℰ_к(р)=[ℰ_0^2+(cp)^2]^{1/2}$ всех час­тиц с им­пуль­са­ми $р$ ($ℰ_0=m_0c^2$, $m_0$ – мас­са объ­екта, $c$ – ско­рость све­та в ва­куу­ме) и потен­ци­аль­ной энер­гии $ℰ_п(q)$, ко­то­рая оп­ре­де­ля­ет­ся ви­дом взаи­мо­дей­ст­вия ме­ж­ду час­ти­ца­ми это­го объ­ек­та; энер­гия $ℰ_{вн}(q;V_0)$ оп­ре­де­ля­ет­ся взаи­мо­дей­ст­ви­ем час­тиц объ­ек­та с внеш­ней стен­кой (как пра­ви­ло, аб­со­лют­но твёр­дой и не­про­ни­цае­мой для час­тиц).

Со­глас­но осн. по­ло­же­ни­ям С. ф., ес­ли для фи­зич. объ­ек­та при­ме­ни­мо клас­сич. опи­са­ние, а его энер­гия ад­ди­тив­на, то функ­ция рас­пре­де­ле­ния име­ет ка­но­ни­че­ский (экс­по­нен­ци­аль­ный) вид: $$w(q,p;V_0,T_0) =\\= Z^{–1}(V_0,T_0)\exp[–ℰ(p,q;V_0)/kT_0],\\ \int w (q,p;V_0,T_0)dpdq\equiv 1;\tag{2}$$   $$Z(V_0,T_0)=\int \exp[–ℰ(p,q;V_0)/kT_0]dpdq,\\ F(V_0,T_0)=–kT_0\ln Z(V_0,T_0),\tag{3}$$ где $Z(V_0,T_0)$ – ста­ти­стич. ин­те­грал, иг­раю­щий роль нор­ми­ро­воч­но­го мно­жи­те­ля для функ­ции рас­пре­де­ле­ния $w$ для лю­бых зна­че­ний объ­ё­ма $V_0$ и темп-ры $T_0$, за­дан­ных внеш­ни­ми ус­ло­вия­ми; $k$ – по­сто­ян­ная Больц­ма­на. Т. о., вы­ра­же­ния (2) и (3) в рам­ках С. ф. оп­ре­де­ля­ют тер­мо­ди­на­мич. свой­ст­ва фи­зич. объ­ек­та по­сред­ст­вом од­но­го из по­тен­циа­лов тер­мо­ди­на­ми­че­ских

 – сво­бод­ной энер­гии $F(V_0,T_0)$. В ча­ст­ном слу­чае иде­аль­но­го га­за с учё­том толь­ко ки­не­тич. энер­гии час­тиц $ℰ_к(р)≈p^2/(2m_0)$ (в не­ре­ля­ти­ви­ст­ском при­бли­же­нии), $ℰ_п(q)=ℰ_{вн}(q;V_0)=0$, рас­пре­де­ле­ние (2) бы­ло по­лу­че­но Дж. Мак­свел­лом

 >>

в 1859, а с учё­том по­тен­ци­аль­ной энер­гии во внеш­нем по­ле $ℰ_{вн}(q;V_0)$ – Л. Больц­ма­ном

 >>

в 1871.

Ес­ли для объ­ек­та в дан­ных фи­зич. ус­ло­ви­ях не­об­хо­ди­мо кван­то­вое опи­са­ние, то прин­ци­пи­аль­ная схе­ма опи­са­ния ос­та­ёт­ся той же, од­на­ко вы­чис­лит. часть ста­но­вит­ся су­ще­ст­вен­но слож­нее. Функ­ция рас­пре­де­ле­ния по кван­то­вым со­стоя­ни­ям, оп­ре­де­ляе­мым со­во­куп­но­стью кван­то­вых чи­сел $\{n, α\}$ ($n$ – гл. кван­то­вое чис­ло, $α$ – со­во­куп­ность ос­таль­ных кван­то­вых чи­сел), име­ет вид (при сум­ми­ро­ва­нии для фер­ми-час­тиц учи­ты­ва­ет­ся Пау­ли прин­цип

): $$w_{n,α}(V_0,T_0)=\exp \{[F(V_0,T_0)-ℰ_{n,α}(V_0)]/kT_0\},\\ \sum_{n,α}w_{n,α}(V_0,T_0)\equiv1. \tag{4}$$ Здесь $ℰ_{n,α}(V_0)$ – энер­ге­тич. спектр фи­зич. объ­ек­та, оп­ре­де­ляе­мый по­сред­ст­вом ре­ше­ния ста­цио­нар­но­го Шрё­дин­ге­ра урав­не­ния

 >>

(с учё­том гра­нич­ных ус­ло­вий) с опе­ра­тор­ным ана­ло­гом вы­ра­же­ния (1) для энер­гии.

Во мно­гих прак­ти­че­ски важ­ных слу­ча­ях спектр $ℰ_{n,α}$ фак­ти­че­ски за­ви­сит толь­ко от гл. кван­то­во­го чис­ла $n$, т. е. име­ет ме­сто вы­ро­ж­де­ние по др. кван­то­вым чис­лам α с крат­но­стью $g_n ⩾ 1$. То­гда фор­му­ла (4) при­ни­ма­ет вид $$w_n(V_0,T_0)=\\=g_n \exp \{[F(V_0,T_0)-ℰ_{n,α}(V_0)]/kT_0\},\\ \sum_n w_n(V_0,T_0)\equiv 1, \tag{5}$$ оди­на­ко­вый как в ста­ти­стич. ме­ха­ни­ке, так и в ста­ти­стич. тер­мо­ди­на­ми­ке кван­то­во­го объ­ек­та. Со­от­вет­ст­вен­но, ана­лог вы­ра­же­ния (5) для клас­сич. объ­ек­та мо­жет быть по­лу­чен из фор­мул (2) и (3) по­сред­ст­вом вве­де­ния струк­тур­ной функ­ции, или плот­но­сти со­стоя­ний, $g(ℰ) > 1$, при­чём $g(ℰ)dℰ$ – чис­ло разл. со­стоя­ний объ­ек­та в фа­зо­вом про­стран­ст­ве, при­хо­дя­щих­ся на ма­лый ин­тер­вал энер­гий $dℰ$. Су­ще­ст­вен­но, что име­ет­ся связь $S_B(ℰ)=k \ln g(ℰ)$, где $S_B(ℰ)$ – эн­тро­пия Больц­ма­на. То­гда в рам­ках ста­ти­стич. тер­мо­ди­на­ми­ки име­ет ме­сто вы­ра­же­ние $$w(ℰ;V_0,T_0)=\\= \exp \{[F(V_0,T_0)-S_B(ℰ )T_0-ℰ_{n,α} (V_0)]/kT_0\},\\ \int dpdq(...) = \int g(ℰ)dℰ(...). \tag{6}$$

Средние значения и корреляционные функции

Опи­са­ние объ­ек­тов в рам­ках С. ф. по­зво­ля­ет на­хо­дить не толь­ко сво­бод­ную энер­гию $F(V_0,T_0)$, но и ср. зна­че­ния $$\overline{A(V_0,T_0)} = \\ = \int dpdqA(p,q) \exp \{ [F(V_0,T_0) - ℰ(p,q; V_0)]/kT_0 \}$$ ди­на­мич. ве­ли­чин $A(p,q)$, за­ви­ся­щих, как пра­ви­ло, от ко­ор­ди­нат и им­пуль­сов не всех час­тиц, а лишь од­ной (од­но­час­тич­ные ве­ли­чи­ны – напр., ки­не­тич. энер­гия) или пáры час­тиц (двух­час­тич­ные ве­ли­чи­ны – напр., по­тен­ци­аль­ная энер­гия взаи­мо­дей­ст­вия). Ана­ло­гич­но, важ­ны­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми в рам­ках С. ф. яв­ля­ют­ся дис­пер­сии $σ^2_{AA} = [\overline{\Delta A}]^2$, где $\Delta A = A(p,q) - \overline{A(V_0,T_0)}$ – флук­туа­ция, или слу­чай­ное от­кло­не­ние от сред­не­го, ве­ли­чи­ны $A(p,q)$, а так­же кор­ре­ля­ци­он­ные функ­ции

 $σ_{AB}=\overline{\Delta A \Delta B}$ для пар ди­на­мич. ве­ли­чин $A(p,q)$ и $B(p,q)$. Су­ще­ст­вен­но, что кор­ре­ля­ци­он­ная мат­ри­ца (на­бор всех $σ_{AA}$ и $σ_{AB}$) в ста­ти­стич. тер­мо­ди­на­ми­ке про­пор­цио­наль­на мат­ри­це обоб­щён­ных вос­при­им­чи­во­стей $χ_{AA}$ и $χ_{AB}$ клас­сич. тер­мо­ди­на­ми­ки. Как пра­ви­ло, от­но­сит. флук­туа­ции $σ_{AA}^2/\overline{A}^2 \propto 1/\sqrt{N}$для лю­бых ве­ли­чин $A$ ма­лы для мак­ро­ско­пич. объ­ек­тов, од­на­ко иг­ра­ют важ­ную роль вбли­зи кри­тич. то­чек $Т_{кр}$ фа­зо­вых пе­ре­хо­дов, где обоб­щён­ные вос­при­им­чи­во­сти об­на­ру­жи­ва­ют ано­маль­ный рост.

Для рас­чё­та ср. ве­ли­чин и кор­ре­ля­ци­он­ных функ­ций пол­ная функ­ция рас­пре­де­ле­ния (2) со­дер­жит из­бы­точ­ную ин­фор­ма­цию и впол­не дос­та­точ­но ог­рани­чить­ся $r$-час­тич­ны­ми $(r=1,2,...)$ функ­ция­ми рас­пре­де­ле­ния $w_r$, пред­став­ляю­щи­ми со­бой ус­лов­ные ве­ро­ят­но­сти, или пол­ную функ­цию рас­пре­де­ле­ния $w_N$ (2), про­ин­тег­ри­ро­ван­ную по всем ос­таль­ным $N-r$ пáрам пе­ре­мен­ных фа­зо­во­го про­стран­ст­ва ($N$ – пол­ное чис­ло час­тиц объ­ек­та).

Кинетические уравнения

Для на­бо­ра $r$-час­тич­ных функ­ций рас­пре­де­ле­ния су­ще­ст­ву­ет це­поч­ка ки­не­тич. урав­не­ний, оп­ре­де­ляе­мая взаи­мо­дей­ст­ви­ем час­тиц и по­зво­ляю­щая при оп­ре­де­лён­ных при­бли­же­ни­ях най­ти яв­ный вид од­но- и двух­час­тич­ных функ­ций рас­пре­де­ле­ния.

В не­рав­но­вес­ной С. ф. все функ­ции рас­пре­де­ле­ния $w_r$ при­об­ре­та­ют яв­ную за­ви­си­мость от вре­ме­ни $t$, при­чём, как и в рав­но­вес­ном слу­чае, для ве­ли­чин $𝜕w_r/𝜕t$ име­ет ме­сто це­поч­ка ки­не­тич. урав­не­ний, ре­ше­ние ко­то­рых в пре­де­ле $t→∞$ (фак­ти­че­ски уже при $t ≫ τ$, где $τ$ – вре­мя тер­мо­ди­на­мич. ре­лак­са­ции) вос­про­из­во­дит на­бор ка­но­нич. $r$-час­тич­ных функ­ций рас­пре­де­ле­ния. Су­ще­ст­вен­но, что в хо­де временнóй эво­лю­ции эн­тро­пия объ­ек­та $S(t)$ рас­тёт в со­от­вет­ст­вии со вто­рым на­ча­лом тер­мо­ди­на­ми­ки

; впер­вые та­кой под­ход сфор­му­ли­ро­вал Л. Больц­ман в 1871, по­лу­чив­ший Мак­свел­ла рас­пре­де­ле­ние

 >>

в ка­че­ст­ве ре­ше­ния сво­его урав­не­ния для слу­чая иде­аль­но­го клас­сич. га­за. В совр. рав­но­вес­ной и не­рав­но­вес­ной С. ф. ис­поль­зу­ют­ся ма­те­ма­тич. ме­то­ды, за­им­ст­во­ван­ные из кван­то­вой тео­рии по­ля, т. к. объ­ек­ты в этих раз­де­лах фи­зи­ки об­ла­да­ют очень боль­шим чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды.

Приложения

При­ло­же­ния С. ф. к кон­крет­ным фи­зич. объ­ек­там мно­го­чис­лен­ны и раз­но­об­раз­ны – см. Иде­аль­ный газ

, Кван­то­вый газ

 >>

, Жид­кость

 >>

, Твёр­дое те­ло

 >>

, Ме­тал­лы

 >>

, Плаз­ма

 >>

, Те­п­ло­вое из­лу­че­ние

 >>

, Бо­зе – Эйн­штей­на ста­ти­сти­ка

 >>

, Фер­ми – Ди­ра­ка ста­ти­сти­ка

 >>

, Ква­зи­ча­сти­цы

 >>

, Ки­не­ти­ка фи­зи­че­ская

 >>

, Фа­зо­вый пе­ре­ход

 >>

.