КВА́НТОВЫЙ ГАЗ

КВА́НТОВЫЙ ГАЗ, газ, в ко­то­ром су­ще­ст­вен­на роль об­мен­ных взаи­мо­дей­ст­вий, обу­слов­лен­ных не­раз­ли­чи­мо­стью (то­ж­де­ст­вен­но­стью) со­став­ляю­щих его час­тиц – ато­мов, мо­ле­кул, элек­тро­нов в ме­тал­ле и др. Фи­зич. свой­ст­ва К. г. за­ви­сят от ти­па ста­ти­сти­ки, ко­то­рой под­чи­ня­ют­ся его час­ти­цы (Бо­зе – Эйн­штей­на ста­ти­сти­ке

или Фер­ми – Ди­ра­ка ста­ти­сти­ке

 >>

); в свя­зи с этим су­ще­ст­ву­ют бо­зе-га­зы

 >>

и фер­ми-га­зы

 >>

со­от­вет­ст­вую­щих час­тиц.

Газ сле­ду­ет рас­смат­ри­вать как кван­то­вый при темп-рах $T$ мень­ше или по­ряд­ка $T_0$ и/или кон­цен­тра­ци­ях га­за $n$ боль­ше или по­ряд­ка $n_0$, где $T_0$ и $n_0$ – темп-ра и кон­цен­тра­ция вы­ро­ж­де­ния со­от­вет­ст­вен­но. Зна­че­ния $T_0$ и $n_0$ для иде­аль­но­го га­за мож­но при­бли­жён­но оце­нить, ис­хо­дя из ус­ло­вия пе­ре­кры­тия вол­но­вых функ­ций со­сед­них час­тиц. Для это­го т. н. те­п­ло­вая дли­на вол­ны де Брой­ля $\lambda_T=\hbar/p_T$ (где $p_T$ – сред­ний те­п­ло­вой им­пульс час­тиц, $\hbar$ – по­сто­ян­ная План­ка) долж­на стать при­мер­но рав­ной сред­не­му рас­сто­я­нию $\bar r$ ме­ж­ду час­ти­ца­ми, ко­то­рое в слу­чае од­но­род­но­го про­стран­ст­вен­но­го рас­пре­де­ле­ния час­тиц свя­за­но с кон­цен­траци­ей час­тиц $n$ со­от­но­ше­ни­ем $\bar r \approx n^{-1/3}$.

Со­глас­но рас­пре­де­ле­нию Мак­свел­ла для иде­аль­но­го га­за, $p_T \approx (kTm)^{1/2}$, где $k$ – по­сто­ян­ная Больц­ма­на, $T$ – аб­со­лют­ная темп-ра га­за, $m$ – мас­са по­коя час­ти­цы, и ус­ло­вие пе­ре­хо­да га­за в кван­то­вый ре­жим име­ет вид $(n^{2/3}/mT)(\hbar^2/k) \approx 1$; в этом слу­чае при за­дан­ных зна­че­ни­ях мас­сы $m$ и кон­цен­тра­ции $n$ темп-ра вы­ро­ж­де­ния $T_0 \approx(\hbar^2/k)(n^{2/3}/m)$ од­на и та же как для бо­зе-, так и для фер­ми-час­тиц. В слу­чае бо­зе-га­за фо­то­нов с $m=0$, час­то­той $\nu$ и им­пуль­сом $p=\hbar \nu /c$ (где $c$ – ско­рость све­та) ус­ло­вие вы­ро­ж­де­ния име­ет вид: $\lambda \approx n^{-1/3}$, где $\lambda=\hbar/p=c/\nu$, но кон­цен­тра­ция те­п­ло­во­го из­лу­че­ния за­ви­сит от темп-ры: $n \approx(kT/c\hbar)^3$, так что $T_0=\hbar \nu/k$.

При за­дан­ной кон­цен­тра­ции $n$ су­ще­ст­вен­на за­ви­си­мость $T_0$ от мас­сы час­тиц $m$; так, газ элек­тро­нов в ме­тал­ле ($m_\text e \approx 10^{-27}$ г) при ха­рак­тер­ном зна­че­нии $n \approx 5 \cdot 10^{28}$ м^–3 при ком­нат­ной темп-ре яв­ля­ет­ся К. г. ($T_0 \approx 5 \cdot 10^4$ К), то­гда как га­зы ато­мов и мо­ле­кул при тех же ус­ло­ви­ях яв­ля­ют­ся клас­си­че­ски­ми (напр., для Н₂ с $m \approx 4 \cdot 10^3 m_ \text e$ темп-ра $T_0 \approx 10$ К). Ядер­ная ма­те­рия (смесь про­то­нов и ней­тро­нов с кон­цен­тра­ци­ей $n \approx 5 \cdot 10^{43}$ м^–3) прак­ти­че­ски все­гда яв­ля­ет­ся К. г. с $T_0 \approx 5 \cdot 10^{11}$ К.

Вбли­зи темп-ры вы­ро­ж­де­ния $T_0$ (но не­сколь­ко вы­ше неё) К. г. яв­ля­ет­ся сла­бо­вы­ро­ж­ден­ным. В этом слу­чае свой­ства К. г. при­бли­жён­но опи­сы­ва­ют­ся с по­мо­щью об­мен­но­го взаи­мо­дей­ст­вия $Ф_{\pm}(r;T)\approx \pm \exp[-(r/\lambda_T)^2]$, от­ра­жаю­ще­го ки­не­ма­ти­че­ские, или сим­мет­рий­ные, свой­ст­ва двух час­тиц га­за, рас­по­ло­жен­ных на рас­стоя­нии $r$ друг от дру­га. Те­п­ло­вая дли­на вол­ны $\lambda_T$ иг­ра­ет роль эф­фек­тив­но­го ра­диу­са это­го взаи­мо­дей­ст­вия, ко­то­рое за­мет­но про­яв­ля­ет­ся лишь при $r/\lambda_T \leq1$. Зна­ки плюс и ми­нус в $Ф_{\pm}(r;T)$ со­от­ветст­ву­ют эф­фек­тив­но­му от­тал­ки­ва­нию (для фер­ми-га­за) и при­тя­же­нию (для бо­зе-га­за); для фер­ми-час­тиц в этом от­тал­ки­ва­нии на­хо­дит ди­на­мич. про­яв­ле­ние прин­цип Пау­ли, за­пре­щаю­щий на­хо­ж­де­ние двух час­тиц в од­ном со­стоя­нии. Бла­го­да­ря об­мен­но­му взаи­мо­дей­ст­вию К. г. фак­ти­че­ски пе­ре­ста­ёт быть иде­аль­ным, при­чём в слу­чае бо­зе-га­за за счёт вза­им­но­го при­тя­же­ния час­тиц при темп-ре вы­ро­ж­де­ния $T_0$ воз­ни­ка­ет Бо­зе –Эйн­штей­на кон­ден­са­ция

. Для фер­ми-га­за ве­ли­чи­на $\mathscr E_0=kT_0$ пред­став­ля­ет со­бой т. н. гра­нич­ную (мак­си­маль­ную) фер­ми-энер­гию

 >>

од­ной час­ти­цы при за­дан­ных зна­че­ни­ях мас­сы $m$ и кон­цен­тра­ции $n$. Так, для элек­тро­нов в ме­тал­ле $\mathscr E_0 \approx 5$ эВ, для ядер­ной ма­те­рии $\mathscr E_0 \approx 27$ МэВ.

Вид урав­не­ний со­стоя­ния (тер­ми­че­ско­го урав­не­ния Кла­пей­ро­на и ка­ло­ри­че­ско­го за­ко­на рав­но­рас­пре­де­ле­ния) для сла­бо­вы­ро­ж­ден­но­го иде­аль­но­го К. г. ма­ло от­ли­ча­ет­ся от ви­да со­от­вет­ст­вую­щих урав­не­ний для клас­сич. га­за. Кван­то­вые по­прав­ки к этим урав­не­ни­ям в слу­чае К. г. вы­ра­жа­ют­ся в ви­де раз­ло­же­ний по сте­пе­ням от­но­ше­ния $T_0/T$ (или $n/n_0$) и име­ют раз­ные зна­ки для иде­аль­ных бо­зе- и фер­ми-га­зов. Так, по­прав­ки к дав­ле­нию и внутр. энер­гии по­ло­жи­тель­ны для фер­ми-га­за и от­ри­ца­тель­ны для бо­зе-га­за, то­гда как по­прав­ки к те­п­ло­ём­ко­сти этих К. г. име­ют про­ти­во­по­лож­ные зна­ки.

По ме­ре по­ни­же­ния темп-ры $T$ от­но­си­тель­но $T_0$ (при $T/T_0 \ll1$) фи­зич. свой­ст­ва К. г. всё боль­ше от­ли­ча­ют­ся от свойств то­го же га­за в клас­сич. ре­жи­ме, при­чём максимальное от­ли­чие ме­ж­ду ни­ми име­ет ме­сто при $T=0$. Су­ще­ст­вен­но, что при $T=0$ энер­гия $\mathscr E$ и дав­ле­ние $P$ бо­зе-га­за рав­ны ну­лю, то­гда как для фер­ми-га­за $P_0=(2/3)n\mathscr E_0 \approx \hbar^2(n^{5/3}/m)$ мо­жет быть ве­сь­ма ве­ли­ко. Напр., для га­за элек­тронов в ме­тал­ле $P_0 \approx 2,5$ ГПа. На­про­тив, при вы­со­ких температурах (при $T/T_0 \gg 1$) те­п­ло­вая дли­на вол­ны де Брой­ля $\lambda_T \approx \hbar/(kTm)^{1/2}$ стре­мит­ся к ну­лю, т. е. у час­тиц га­за ис­че­за­ет вол­но­вой ас­пект, а со­хра­ня­ет­ся лишь кор­пус­ку­ляр­ный, и $Ф_{\pm}(r;T) \to 0$. В этом слу­чае ин­тен­сив­ное те­п­ло­вое дви­же­ние «раз­мы­ва­ет» кван­то­вые (об­мен­ные) кор­ре­ля­ции и «сти­ра­ет» раз­ли­чия ме­ж­ду час­ти­ца­ми, под­чи­няю­щи­ми­ся разл. ста­ти­сти­кам (Бо­зе – Эйн­штей­на, Фер­ми – Ди­ра­ка или Мак­свел­ла – Больц­ма­на), пе­ре­во­дя газ из кван­то­во­го ре­жи­ма в клас­си­че­ский. В слу­чае не­иде­аль­но­го К. г. ко­ли­че­ст­вен­ное опи­са­ние его свойств су­ще­ст­вен­но ус­лож­ня­ет­ся, по­это­му за­кон­чен­ная тео­рия та­ких фи­зич. объ­ек­тов по­ка не со­зда­на.