КОРРЕЛЯЦИО́ННАЯ ФУ́НКЦИЯ

КОРРЕЛЯЦИО́ННАЯ ФУ́НКЦИЯ. 1) В слу­чай­ных про­цес­сах оп­ре­де­ля­ет ста­ти­стич. связь ме­ж­ду зна­че­ния­ми из­ме­няю­щих­ся во вре­ме­ни и/или про­стран­ст­ве фи­зич. ве­ли­чин мак­ро­ско­пич. сис­те­мы.

Слу­чай­ные из­ме­не­ния не­ко­то­рой ска­ляр­ной фи­зич. ве­ли­чи­ны (напр., то­ка в элек­трич. це­пи) мож­но опи­сы­вать функ­ци­ей $ξ(t)$. Про­стей­шая времен­нáя К. ф. это­го про­цес­са оп­ре­де­ля­ет­ся как $$R(t_1,t_2)=\langle (ξ(t_1)-\langle ξ(t_1) \rangle )(ξ(t_2)- \langle ξ(t_2)\rangle ) \rangle . \tag1$$ Здесь уг­ло­вые скоб­ки оз­на­ча­ют ус­ред­не­ние по ан­самб­лю реа­ли­за­ций, $\langle ξ(t) \rangle$ – ср. зна­че­ние функ­ции $ξ(t)$. Ана­ли­тич. вы­ра­же­ние для К. ф. мож­но по­лу­чить, зная дву­мер­ную функ­цию рас­пре­де­ле­ния плот­но­сти ве­ро­ят­но­сти $w_2(ξ_1,ξ_2)$: $$R(t_1,t_2)=\intξ_1ξ_2w_2(ξ_1,ξ_2)dξ_1dξ_2,\tag2$$ где $ξ_1=ξ(t_1)$, $ξ_2=ξ(t_2)$.

Для ста­цио­нар­ных слу­чай­ных процес­сов $\langle ξ (t) \rangle$ не за­ви­сит от вре­ме­ни [для про­сто­ты бу­дем счи­тать $\langle ξ(t)\rangle=0$], а К. ф. $R(t_1,t_2)=R(\tau=t_2-t_1)=R(–\tau)$ яв­ля­ет­ся чёт­ной функ­ци­ей раз­но­сти вре­мён. Ста­цио­нар­ны­ми слу­чай­ны­ми про­цес­са­ми яв­ля­ют­ся флук­туа­ции фи­зич. ве­ли­чин, воз­ни­каю­щие в сис­те­ме, на­хо­дя­щей­ся в рав­но­вес­ных ус­ло­ви­ях; та­кие ус­ло­вия реа­ли­зу­ют­ся во мно­гих экс­пе­рим. си­туа­ци­ях. Макс. зна­че­ние К. ф. $R(\tau)$ име­ет при $τ=0$; это зна­че­ние, рав­ное $R(0)=σ^2$, на­зы­ва­ет­ся дис­пер­си­ей слу­чай­но­го про­цес­са. При уве­ли­че­нии $τ$ ста­ти­стич. за­ви­си­мость ме­ж­ду $ξ(t)$ и $ξ(t+τ)$ ста­но­вит­ся всё бо­лее сла­бой и $R(\infty)=0$. Ха­рак­тер­ный ин­тер­вал вре­ме­ни, при ко­то­ром про­ис­хо­дит за­мет­ный спад зна­че­ния К. ф. в неск. раз, при­ня­то на­зы­вать вре­ме­нем кор­ре­ля­ции. К. ф. не­по­сред­ст­вен­но свя­за­на со спек­тром флук­туа­ций $G(ω)$ со­от­ноше­ни­ем Ви­не­ра – Хин­чи­на: $R(τ)=\int G(\omega)e^{i \text{ω} t} dt$ ($ω$  – час­то­та флук­туа­ций). В ре­аль­ных си­туа­ци­ях ус­ред­не­ние по на­бо­ру все­воз­мож­ных реа­ли­за­ций слу­чай­но­го про­цес­са час­то мож­но за­ме­нить вре­менны́м ус­ред­не­ни­ем по од­ной реа­ли­за­ции за ин­тер­вал вре­ме­ни, дос­та­точ­но боль­шой по срав­не­нию с вре­ме­нем кор­ре­ля­ции. Слу­чай­ные про­цес­сы, ко­то­рые об­ла­да­ют этим свой­ст­вом, на­зы­ва­ют эр­го­ди­че­ски­ми.

На­ря­ду с К. ф. (1), час­то ис­поль­зу­ют мно­го­мер­ные (или мно­го­то­чеч­ные) К. ф., за­ви­ся­щие бо­лее чем от двух мо­мен­тов вре­ме­ни: $$R(t_1,t_2,...,t_n)=\langle ξ (t_1)ξ(t_2)...ξ(t_n)\rangle.\tag3$$ Мно­го­мер­ные К. ф. чёт­но­го по­ряд­ка (по­ря­док оп­ре­де­ля­ет­ся чис­лом со­мно­жи­те­лей) га­ус­сов­ско­го слу­чай­но­го про­цес­са вы­ра­жа­ют­ся че­рез все­воз­мож­ные пар­ные К. ф. (1). Так, в кор­ре­ля­ци­он­ной спек­тро­ско­пии (спек­тро­ско­пии рас­се­ян­но­го све­та) при­ме­ня­ют К. ф. ин­тен­сив­но­сти све­та (К. ф. чет­вёр­то­го по­ряд­ка по по­лю), ко­то­рая оп­ре­де­ля­ет­ся К. ф. вто­ро­го по­ряд­ка (1).

Связь флук­туа­ций век­тор­ных и тен­зор­ных ве­ли­чин (напр., флук­туа­ции ско­ро­сти тур­бу­лент­но­го по­то­ка и тен­зо­ра ди­элек­трич. про­ни­цае­мо­сти сре­ды) опи­сы­ва­ют с по­мо­щью кор­ре­ля­ци­он­ной мат­ри­цы. Так, кор­ре­ля­ци­он­ная мат­ри­ца $B_{jk}$ на­пря­жён­но­сти элек­трич. по­ля $\boldsymbol E$ све­то­вой вол­ны име­ет вид: $$B_{jk}(t_1, t_2)=\langle E_j(t_1)E_k^*(t_2)\rangle.\tag4$$ Здесь $E_j(t)$ – ком­плекс­ные функ­ции, $\boldsymbol E={\mathrm Re} \boldsymbol E;\,j,k=x,y,z$ – ком­по­нен­ты по­ля в де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах. Диа­го­наль­ные эле­мен­ты мат­ри­цы пред­став­ля­ют со­бой сред­ние ин­тен­сив­но­сти, а не­диа­го­наль­ные эле­мен­ты за­ви­сят от ам­пли­туд и фаз ком­по­нент по­ля. Кор­ре­ля­ци­он­ную мат­ри­цу (4) раз­ме­ром 2×2, эле­мен­ты ко­то­рой рас­счи­та­ны для ор­то­го­наль­ных ком­по­нент элек­трич. по­ля в плос­ко­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­ной на­прав­ле­нию рас­про­стра­не­ния све­то­вой вол­ны, на­зы­ва­ют мат­ри­цей ко­ге­рент­но­сти.

Флук­туа­ции ве­ли­чин по про­стран­ст­ву ха­рак­те­ри­зу­ют­ся про­стран­ст­вен­ны­ми К. ф., напр.: $$R(\boldsymbol r_1, \boldsymbol r_2)=\langle ξ(r_1)ξ(r_2) \rangle, \tag5$$ где $ξ(\boldsymbol r)$ – слу­чай­ное трёх­мер­ное по­ле. При этом слу­чай­ное по­ле ста­ти­сти­че­с­ки од­но­род­но, ес­ли К. ф. $R(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)=R(\boldsymbol \rho=\boldsymbol r_2-\boldsymbol r_1)$. Ес­ли же $R(\boldsymbol \rho)$ за­ви­сит толь­ко от мо­ду­ля $ρ$, то од­но­род­ное слу­чай­ное по­ле ста­ти­сти­че­ски изо­троп­но в про­стран­ст­ве. Ха­рак­тер­ный мас­штаб су­ще­ст­вен­но­го умень­ше­ния К. ф. в про­стран­ст­ве на­зы­ва­ют ра­диу­сом кор­ре­ля­ции. Вре­меннáя (1) и про­стран­ствен­ная (5) К. ф. яв­ля­ют­ся ча­ст­ны­ми слу­чая­ми про­стран­ст­вен­но-вре­мен­нóй К. ф., ха­рак­те­ри­зую­щей связь флук­туа­ций фи­зич. ве­ли­чин в про­стран­ст­ве и во вре­ме­ни. Тем не ме­нее раз­дель­ное рас­смот­ре­ние флук­туа­ций фи­зич. ве­ли­чин во вре­ме­ни и в про­стран­ст­ве во мно­гих слу­ча­ях аде­к­ват­но опи­сы­ва­ет экс­пе­ри­мент.

В кван­то­вой тео­рии со­стоя­ние по­лей удоб­но опи­сы­вать эр­ми­то­вой мат­ри­цей (опе­ра­то­ром плот­но­сти) $\hat \rho$, для ко­то­рой её след (сум­ма диа­го­наль­ных эле­мен­тов) ра­вен еди­ни­це. Су­гу­бо кван­то­вые свой­ст­ва по­лей мо­гут про­яв­лять­ся в кван­то­вых К. ф. по­ряд­ка вы­ше вто­ро­го. Так, эф­фект ан­ти­груп­пи­ров­ки фо­то­нов об­на­ру­жен при из­ме­ре­нии К. ф. ин­тен­сив­но­сти (К. ф. чет­вёр­то­го по­ряд­ка). Не­клас­си­че­ские, кван­то­вые кор­ре­ля­ции яр­ко про­яв­ля­ют­ся в пе­ре­пу­тан­ных кван­то­вых со­стоя­ни­ях (см. Кван­то­вая оп­ти­ка

) и на­ру­ше­ни­ях не­ра­вен­ст­ва Бел­ла (см. Кван­то­вые па­ра­док­сы

 >>

).

2) В ста­ти­сти­че­ской фи­зи­ке К. ф. оп­ре­де­ля­ет ста­ти­стич. связь меж­ду по­ло­же­ни­ем ча­стиц (ато­мов, ионов, мо­ле­кул).

Для опи­са­ния по­ло­же­ния час­тиц в про­стран­ст­ве ис­поль­зу­ют функ­ции рас­пре­де­ле­ния их пе­ре­мен­ных: од­но­час­тич­ную функ­цию $f_1(\boldsymbol r,\boldsymbol p)$ ($\boldsymbol r$ – про­стран­ст­вен­ная ко­ор­ди­на­та, $\boldsymbol p$ – им­пульс час­ти­цы), двух­час­тич­ную $f_2(\boldsymbol r_1,\boldsymbol p_1;\boldsymbol r_2,\boldsymbol p_2)$ и т. д., ко­то­рые так­же ха­рак­те­ри­зу­ют ста­ти­стич. связь час­тиц. От этих функ­ций мож­но пе­рей­ти к функ­ци­ям $f_1(\boldsymbol r), f_2(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)$ и т. д. (напр., ин­тег­ри­руя по им­пуль­сам), ко­то­рые на­зы­ва­ют­ся К. ф. Ве­ли­чи­на $f_2(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)d^3r_1d^3r_2$ свя­за­на с ве­ро­ят­но­стью об­на­ру­же­ния од­ной час­ти­цы с ко­ор­ди­на­той $\boldsymbol r_1$ в объ­ё­ме $d^3r_1$ и др. час­ти­цы с ко­ор­ди­на­той $\boldsymbol r_2$ в объ­ё­ме $d^3r_2$. Функ­ция $f_2(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)$ оп­ре­де­ля­ет про­стран­ст­вен­ную К. ф. флук­туа­ции плот­но­сти сре­ды. Для не­взаи­мо­дей­ст­вую­щих ме­ж­ду со­бой час­тиц $f_2(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)=f_1(\boldsymbol r_1)f_1(\boldsymbol r_2)$. По­это­му не­по­сред­ст­вен­но кор­ре­ля­цию час­тиц ха­рак­те­ри­зу­ет функ­ция $g(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)=f_2(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)-f_1(\boldsymbol r_1)f_1(\boldsymbol r_2)$, на­зы­вае­мая пар­ной К. ф. Зна­че­ние $g(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)$ оп­ре­де­ля­ет­ся по­тен­циа­лом взаи­мо­дей­ст­вия со­сед­них час­тиц; при $g(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)=0$ по­ло­же­ния час­тиц ста­ти­сти­че­ски не­за­ви­си­мы. Пар­ная К. ф. име­ет осо­бое зна­че­ние, т. к. в слу­чае свя­зи час­тиц, за­ви­ся­щей толь­ко от их рас­стоя­ния, уда­ёт­ся по­лу­чить урав­не­ние со­стоя­ния и энер­гию фи­зич. сис­те­мы. В об­щем слу­чае функ­ции $f_1,f_2,f_3,…$ удов­ле­тво­ря­ют за­це­п­ляю­щей це­поч­ке урав­не­ний (Бо­го­лю­бо­ва це­поч­ке урав­не­ний

), ре­ше­ние ко­то­рой до­воль­но слож­но. По­это­му её об­ры­ва­ют и де­ла­ют замк­ну­той, ис­хо­дя из оп­ре­де­лён­ных фи­зич. пред­по­ло­же­ний.

Кван­то­вым ана­ло­гом К. ф. в ста­ти­стич. фи­зи­ке яв­ля­ет­ся мат­ри­ца плот­но­сти, по­лу­чен­ная взя­ти­ем сле­да от мат­ри­цы плот­но­сти всей сис­те­мы по пе­ре­мен­ным час­тиц, ис­клю­чае­мых из рас­смот­ре­ния. Свой­ст­ва та­кой мат­ри­цы плот­но­сти за­ви­сят от ста­ти­сти­ки час­тиц (Бо­зе – Эйн­штей­на или Фер­ми – Ди­ра­ка).