КОРРЕЛЯЦИО́ННАЯ ФУ́НКЦИЯ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
КОРРЕЛЯЦИО́ННАЯ ФУ́НКЦИЯ. 1) В случайных процессах определяет статистич. связь между значениями изменяющихся во времени и/или пространстве физич. величин макроскопич. системы.
Случайные изменения некоторой скалярной физич. величины (напр., тока в электрич. цепи) можно описывать функцией $ξ(t)$. Простейшая временнáя К. ф. этого процесса определяется как $$R(t_1,t_2)=\langle (ξ(t_1)-\langle ξ(t_1) \rangle )(ξ(t_2)- \langle ξ(t_2)\rangle ) \rangle . \tag1$$ Здесь угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций, $\langle ξ(t) \rangle$ – ср. значение функции $ξ(t)$. Аналитич. выражение для К. ф. можно получить, зная двумерную функцию распределения плотности вероятности $w_2(ξ_1,ξ_2)$: $$R(t_1,t_2)=\intξ_1ξ_2w_2(ξ_1,ξ_2)dξ_1dξ_2,\tag2$$ где $ξ_1=ξ(t_1)$, $ξ_2=ξ(t_2)$.
Для стационарных случайных процессов $\langle ξ (t) \rangle$ не зависит от времени [для простоты будем считать $\langle ξ(t)\rangle=0$], а К. ф. $R(t_1,t_2)=R(\tau=t_2-t_1)=R(–\tau)$ является чётной функцией разности времён. Стационарными случайными процессами являются флуктуации физич. величин, возникающие в системе, находящейся в равновесных условиях; такие условия реализуются во многих эксперим. ситуациях. Макс. значение К. ф. $R(\tau)$ имеет при $τ=0$; это значение, равное $R(0)=σ^2$, называется дисперсией случайного процесса. При увеличении $τ$ статистич. зависимость между $ξ(t)$ и $ξ(t+τ)$ становится всё более слабой и $R(\infty)=0$. Характерный интервал времени, при котором происходит заметный спад значения К. ф. в неск. раз, принято называть временем корреляции. К. ф. непосредственно связана со спектром флуктуаций $G(ω)$ соотношением Винера – Хинчина: $R(τ)=\int G(\omega)e^{i \text{ω} t} dt$ ($ω$ – частота флуктуаций). В реальных ситуациях усреднение по набору всевозможных реализаций случайного процесса часто можно заменить временны́м усреднением по одной реализации за интервал времени, достаточно большой по сравнению с временем корреляции. Случайные процессы, которые обладают этим свойством, называют эргодическими.
Наряду с К. ф. (1), часто используют многомерные (или многоточечные) К. ф., зависящие более чем от двух моментов времени: $$R(t_1,t_2,...,t_n)=\langle ξ (t_1)ξ(t_2)...ξ(t_n)\rangle.\tag3$$ Многомерные К. ф. чётного порядка (порядок определяется числом сомножителей) гауссовского случайного процесса выражаются через всевозможные парные К. ф. (1). Так, в корреляционной спектроскопии (спектроскопии рассеянного света) применяют К. ф. интенсивности света (К. ф. четвёртого порядка по полю), которая определяется К. ф. второго порядка (1).
Связь флуктуаций векторных и тензорных величин (напр., флуктуации скорости турбулентного потока и тензора диэлектрич. проницаемости среды) описывают с помощью корреляционной матрицы. Так, корреляционная матрица $B_{jk}$ напряжённости электрич. поля $\boldsymbol E$ световой волны имеет вид: $$B_{jk}(t_1, t_2)=\langle E_j(t_1)E_k^*(t_2)\rangle.\tag4$$ Здесь $E_j(t)$ – комплексные функции, $\boldsymbol E={\mathrm Re} \boldsymbol E;\,j,k=x,y,z$ – компоненты поля в декартовых координатах. Диагональные элементы матрицы представляют собой средние интенсивности, а недиагональные элементы зависят от амплитуд и фаз компонент поля. Корреляционную матрицу (4) размером 2×2, элементы которой рассчитаны для ортогональных компонент электрич. поля в плоскости, перпендикулярной направлению распространения световой волны, называют матрицей когерентности.
Флуктуации величин по пространству характеризуются пространственными К. ф., напр.: $$R(\boldsymbol r_1, \boldsymbol r_2)=\langle ξ(r_1)ξ(r_2) \rangle, \tag5$$ где $ξ(\boldsymbol r)$ – случайное трёхмерное поле. При этом случайное поле статистически однородно, если К. ф. $R(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)=R(\boldsymbol \rho=\boldsymbol r_2-\boldsymbol r_1)$. Если же $R(\boldsymbol \rho)$ зависит только от модуля $ρ$, то однородное случайное поле статистически изотропно в пространстве. Характерный масштаб существенного уменьшения К. ф. в пространстве называют радиусом корреляции. Временнáя (1) и пространственная (5) К. ф. являются частными случаями пространственно-временнóй К. ф., характеризующей связь флуктуаций физич. величин в пространстве и во времени. Тем не менее раздельное рассмотрение флуктуаций физич. величин во времени и в пространстве во многих случаях адекватно описывает эксперимент.
В квантовой теории состояние полей удобно описывать эрмитовой матрицей (оператором плотности) $\hat \rho$, для которой её след (сумма диагональных элементов) равен единице. Сугубо квантовые свойства полей могут проявляться в квантовых К. ф. порядка выше второго. Так, эффект антигруппировки фотонов обнаружен при измерении К. ф. интенсивности (К. ф. четвёртого порядка). Неклассические, квантовые корреляции ярко проявляются в перепутанных квантовых состояниях (см. Квантовая оптика) и нарушениях неравенства Белла (см. Квантовые парадоксы).
2) В статистической физике К. ф. определяет статистич. связь между положением частиц (атомов, ионов, молекул).
Для описания положения частиц в пространстве используют функции распределения их переменных: одночастичную функцию $f_1(\boldsymbol r,\boldsymbol p)$ ($\boldsymbol r$ – пространственная координата, $\boldsymbol p$ – импульс частицы), двухчастичную $f_2(\boldsymbol r_1,\boldsymbol p_1;\boldsymbol r_2,\boldsymbol p_2)$ и т. д., которые также характеризуют статистич. связь частиц. От этих функций можно перейти к функциям $f_1(\boldsymbol r), f_2(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)$ и т. д. (напр., интегрируя по импульсам), которые называются К. ф. Величина $f_2(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)d^3r_1d^3r_2$ связана с вероятностью обнаружения одной частицы с координатой $\boldsymbol r_1$ в объёме $d^3r_1$ и др. частицы с координатой $\boldsymbol r_2$ в объёме $d^3r_2$. Функция $f_2(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)$ определяет пространственную К. ф. флуктуации плотности среды. Для невзаимодействующих между собой частиц $f_2(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)=f_1(\boldsymbol r_1)f_1(\boldsymbol r_2)$. Поэтому непосредственно корреляцию частиц характеризует функция $g(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)=f_2(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)-f_1(\boldsymbol r_1)f_1(\boldsymbol r_2)$, называемая парной К. ф. Значение $g(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)$ определяется потенциалом взаимодействия соседних частиц; при $g(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2)=0$ положения частиц статистически независимы. Парная К. ф. имеет особое значение, т. к. в случае связи частиц, зависящей только от их расстояния, удаётся получить уравнение состояния и энергию физич. системы. В общем случае функции $f_1,f_2,f_3,…$ удовлетворяют зацепляющей цепочке уравнений (Боголюбова цепочке уравнений), решение которой довольно сложно. Поэтому её обрывают и делают замкнутой, исходя из определённых физич. предположений.
Квантовым аналогом К. ф. в статистич. физике является матрица плотности, полученная взятием следа от матрицы плотности всей системы по переменным частиц, исключаемых из рассмотрения. Свойства такой матрицы плотности зависят от статистики частиц (Бозе – Эйнштейна или Ферми – Дирака).