БОГОЛЮ́БОВА ЦЕПО́ЧКА УРАВНЕ́НИЙ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
БОГОЛЮ́БОВА ЦЕПО́ЧКА УРАВНЕ́НИЙ, цепочка уравнений для функций распределения $F_s(t,\ r_1,…,r_s, \ p_1,…,p_s)$ координат и импульсов $s$ частиц в классич. статистич. системе, состоящей из $N$ частиц, здесь $s = 1, 2, …, N-1, \ t$ – время, $r_1,…,r_s$ и $p_1,…,p_s$ – трёхмерные векторы координат и импульсов частиц. При помощи функций распределения, гл. обр. $F_1$ и $F_2$, могут быть выражены все специфич. характеристики статистич. систем.
Функции распределения $F_s$ (точнее, плотности распределения) определяются равенствами $$F_s(t,\ r_1,…,r_s, \ p_1,…,p_s)=V^s\int w_Ndr_Ndp_{s+1}...dp_N,$$ где $s = 1, 2,…, N-1, \ V$ – объём системы, $w_N$ – функция распределения (плотность распределения вероятностей) для $N$ частиц, удовлетворяющая уравнению Лиувилля $\frac{\partial w_N}{\partial t}=\{H_N, w_N\}$, где $H_N$$ – гамильтониан системы из $N$ частиц; фигурные скобки означают скобки Пуассона (см. ниже). В отличие от $w_N$ функции $F_s$ не нормированы и становятся функциями распределения вероятностей при нормировке величиной $V^s$.
Б. ц. у. в предельном случае, когда $V \to \infty, V/N = v,$ где $v$ – положительная постоянная, представляет собой бесконечную систему уравнений, $s$-е уравнение которой связывает производную $𝜕F_s/𝜕t$ с функцией $F_{s + 1}$: $$\frac{\partial F_s}{\partial t}=\{H_s, F_s\} + \frac {1}{v} \int \left \{\sum\limits_{i=1}^s Φ(|r_i - r_{s+1}|), F_{s+1} \right \} dr_{s+1}dp_{s+1}.$$
Здесь $Φ(|r_i - r_{s+1}|)$ – потенциал взаимодействия $i$-й и ($s + 1$)-й частиц, $H_s$ – гамильтониан системы из $s$ частиц (сумма кинетич. и потенциальной энергий); фигурные скобки обозначают скобки Пуассона, которые для функций $f(t, \ r_1,…,r_s, \ p_1,…,p_s)$ и $g(t, \ r_1,…,r_s, \ p_1,…,p_s)$ гамильтоновых (канонических) переменных $r_1,…,r_s$, $p_1,…,p_s$ определяются равенством $$\{f, g\}=\sum\limits_{k=1}^s \sum\limits_{α=1}^3 \left ( \frac{\partial f}{\partial r_k^α} \frac{\partial g}{\partial p_k^α} - \frac{\partial f}{\partial p_k^α} \frac{\partial g}{\partial r_k^α} \right ).$$
Здесь $r_k^α$ и $p_k^α, α = 1, 2, 3$ – компоненты координат и импульсов частиц, $k=1,..., s$.
Осн. трудности исследования Б. ц. у. связаны с проблемами замыкания системы и нахождения решения замкнутой системы со спец. предельными условиями для функций $F_s$. Эти исследования нескoлько упрощаются в термодинамически равновесном случае, когда распределение по импульсам каждой частицы является Максвелла распределением, а также в случае короткодействия, когда третья степень эффективного радиуса взаимодействия частиц мала по сравнению с параметром $v$, и в случае длиннодействия, когда третья степень этого радиуса значительно превосходит $v$. Б. ц. у. приводит, в частности, к кинетическому уравнению Больцмана для одночастичной функции распределения $F_1$.
При рассмотрении квантовых статистич. систем Б. ц. у. составляется для $s$-частичных статистич. квантовых операторов.
Подход к изучению статистич. систем с использованием цепочек уравнений для функций распределения $F_s$ был предложен Н. Н. Боголюбовым (1946), такая цепочка уравнений получила название Б. ц. у., её также называют ББГКИ-уравнениями, последнее название связано с именами Н. Н. Боголюбова, М. Борна, англ. учёных Дж. Грина, Дж. Кирквуда и Дж. Айвона, внёсших существенный вклад в исследования Б. ц. у.
Б. ц. у. является осн. аппаратом изучения классич. и квантовых систем в статистич. механике.