БОГОЛЮ́БОВА ЦЕПО́ЧКА УРАВНЕ́НИЙ

БОГОЛЮ́БОВА ЦЕПО́ЧКА УРАВНЕ́НИЙ, це­поч­ка урав­не­ний для функ­ций рас­пре­де­ле­ния $F_s(t,\ r_1,…,r_s, \ p_1,…,p_s)$ ко­ор­ди­нат и им­пуль­сов $s$ час­тиц в клас­сич. ста­ти­стич. сис­те­ме, со­стоя­щей из $N$ час­тиц, здесь $s = 1, 2, …, N-1, \ t$ – вре­мя, $r_1,…,r_s$ и $p_1,…,p_s$ – трёх­мер­ные век­то­ры ко­ор­ди­нат и им­пуль­сов час­тиц. При по­мо­щи функ­ций рас­пре­де­ле­ния, гл. обр. $F_1$ и $F_2$, мо­гут быть вы­ра­же­ны все спе­ци­фич. ха­рак­те­ри­сти­ки ста­ти­стич. сис­тем.

Функ­ции рас­пре­де­ле­ния $F_s$ (точ­нее, плот­но­сти рас­пре­де­ле­ния) оп­ре­де­ля­ют­ся ра­вен­ст­ва­ми $$F_s(t,\ r_1,…,r_s, \ p_1,…,p_s)=V^s\int w_Ndr_Ndp_{s+1}...dp_N,$$ где $s = 1, 2,…, N-1, \ V$ – объ­ём сис­те­мы, $w_N$ – функ­ция рас­пре­де­ле­ния (плот­ность рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей) для $N$ час­тиц, удов­ле­тво­ряю­щая урав­не­нию Лиу­вил­ля $\frac{\partial w_N}{\partial t}=\{H_N, w_N\}$, где $H_N$$ – гамиль­то­ни­ан сис­те­мы из $N$ час­тиц; фи­гур­ные скоб­ки оз­на­ча­ют скоб­ки Пу­ас­со­на (см. ни­же). В от­ли­чие от $w_N$ функ­ции $F_s$ не нор­ми­ро­ва­ны и ста­но­вят­ся функ­ция­ми рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей при нор­ми­ров­ке ве­ли­чи­ной $V^s$.

Б. ц. у. в пре­дель­ном слу­чае, ко­гда $V \to \infty, V/N = v,$ где $v$ – по­ло­жи­тель­ная по­сто­ян­ная, пред­став­ля­ет со­бой бес­ко­неч­ную сис­те­му урав­не­ний, $s$-е урав­не­ние ко­то­рой свя­зы­ва­ет про­из­вод­ную $𝜕F_s/𝜕t$ с функ­ци­ей $F_{s + 1}$: $$\frac{\partial F_s}{\partial t}=\{H_s, F_s\} + \frac {1}{v} \int \left \{\sum\limits_{i=1}^s Φ(|r_i - r_{s+1}|), F_{s+1} \right \} dr_{s+1}dp_{s+1}.$$

Здесь $Φ(|r_i - r_{s+1}|)$ – по­тен­ци­ал вза­имо­дей­ст­вия $i$-й и ($s + 1$)-й час­тиц, $H_s$ – га­миль­то­ни­ан сис­те­мы из $s$ час­тиц (сум­ма ки­не­тич. и по­тен­ци­аль­ной энер­гий); фи­гур­ные скоб­ки обо­зна­ча­ют скоб­ки Пу­ас­со­на, ко­то­рые для функ­ций $f(t, \ r_1,…,r_s, \ p_1,…,p_s)$ и $g(t, \ r_1,…,r_s, \ p_1,…,p_s)$ га­миль­то­но­вых (ка­но­ни­че­ских) пе­ре­мен­ных $r_1,…,r_s$, $p_1,…,p_s$ оп­ре­де­ля­ют­ся ра­вен­ст­вом $$\{f, g\}=\sum\limits_{k=1}^s \sum\limits_{α=1}^3 \left ( \frac{\partial f}{\partial r_k^α} \frac{\partial g}{\partial p_k^α} - \frac{\partial f}{\partial p_k^α} \frac{\partial g}{\partial r_k^α} \right ).$$

Здесь $r_k^α$ и $p_k^α, α = 1, 2, 3$ – ком­по­ненты ко­ор­ди­нат и им­пуль­сов час­тиц, $k=1,..., s$.

Осн. труд­но­сти ис­сле­до­ва­ния Б. ц. у. свя­за­ны с про­бле­ма­ми за­мы­ка­ния сис­те­мы и на­хо­ж­де­ния ре­ше­ния замк­ну­той сис­те­мы со спец. пре­дель­ны­ми ус­ло­вия­ми для функ­ций $F_s$. Эти ис­сле­до­ва­ния не­скoль­ко уп­ро­ща­ют­ся в тер­мо­ди­на­ми­че­ски рав­но­вес­ном слу­чае, ко­гда рас­пре­де­ле­ние по им­пуль­сам ка­ж­дой час­ти­цы яв­ля­ет­ся Мак­свел­ла рас­пре­де­ле­ни­ем

, а так­же в слу­чае ко­рот­ко­дей­ст­вия, ко­гда тре­тья сте­пень эф­фек­тив­но­го ра­диу­са взаи­мо­дей­ст­вия час­тиц ма­ла по срав­не­нию с па­ра­мет­ром $v$, и в слу­чае длин­но­дей­ст­вия, ко­гда тре­тья сте­пень это­го ра­диу­са зна­чи­тель­но пре­вос­хо­дит $v$. Б. ц. у. при­во­дит, в ча­ст­но­сти, к ки­не­ти­че­ско­му урав­не­нию Больц­ма­на для од­но­час­тич­ной функ­ции рас­пре­де­ле­ния $F_1$.

При рас­смот­ре­нии кван­то­вых ста­ти­стич. сис­тем Б. ц. у. со­став­ля­ет­ся для $s$-час­тич­ных ста­ти­стич. кван­то­вых опе­ра­то­ров.

Под­ход к изу­че­нию ста­ти­стич. сис­тем с ис­поль­зо­ва­ни­ем це­по­чек урав­не­ний для функ­ций рас­пре­де­ле­ния $F_s$ был пред­ло­жен Н. Н. Бо­го­лю­бо­вым

(1946), та­кая це­поч­ка урав­не­ний по­лу­чи­ла на­зва­ние Б. ц. у., её так­же на­зы­ва­ют ББГКИ-урав­не­ния­ми, по­след­нее на­зва­ние свя­за­но с име­на­ми Н. Н. Бо­го­лю­бо­ва, М. Бор­на

 >>

, англ. учё­ных Дж. Гри­на, Дж. Кир­кву­да и Дж. Ай­во­на, внёс­ших су­ще­ст­вен­ный вклад в ис­сле­до­ва­ния Б. ц. у.

Б. ц. у. яв­ля­ет­ся осн. ап­па­ра­том изу­че­ния клас­сич. и кван­то­вых сис­тем в ста­ти­стич. ме­ха­ни­ке.