МАТЕМАТИ́ЧЕСКОЙ ФИ́ЗИКИ УРАВНЕ́НИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МАТЕМАТИ́ЧЕСКОЙ ФИ́ЗИКИ УРАВНЕ́НИЯ, дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родств. уравнения иных типов (интегральные, интегродифференциальные и т. д.), к которым приводит математич. анализ физич. явлений. Для полного описания динамики физич. процесса, помимо уравнений, необходимо задать состояние процесса в некоторый фиксированный момент времени (начальные условия) и режим на границе среды, где протекает этот процесс (граничные условия). Начальные и граничные условия образуют краевые условия, а дифференциальные уравнения вместе с соответствующими краевыми условиями приводят к краевым задачам математич. физики.
В 19 в. в математич. физике изучались: уравнение Пуассона
$$Δ u=f, \:u=u(x), \:f=f(x), \:x=(x_1,x_2,...,x_n)∈G,\tag1$$
где $\Delta =\frac{\partial^2 }{\partial x_1^2}+...+\frac{\partial^2 }{\partial x_n^2}$ и $G$ – область в $n$-мерном пространстве $\mathbf{R}^n$ (при $f=0$ это уравнение превращается в Лапласа уравнение); уравнение теплопроводности
$$\frac{\partial u}{\partial x}=a^2\Delta u+f,\:u=u(x,t),\:f=f(x,t),\:x\in G\subset \mathbf{R}^n,\:t> 0,\tag2$$
$$\square u=f,\:u=u(x,t),\:f=f(x,t),\:x\in G\subset \mathbf{R}^n,\:t> 0,\tag3$$
где $\square =\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\Delta $ – оператор Д’Аламбера (даламбертиан). Уравнения (2) и (3), не зависящие от параметра $t$, который обычно играет роль времени, называются стационарными; они сводятся к уравнению (1).
В 1860 появилось уравнение Гельмгольца
$$Δ u+k^2u=–f,\: u =u(x),\: f=f(x),\: x∈\mathbf{R}^3,\tag4$$
описывающее установившиеся колебательные процессы; при $k = 0$ это уравнение превращается в уравнение (1). В 1920-х гг. появилось Клейна – Фока – Гордона уравнение
$□u+m^2u=0,\: u=u(t,x).$
Кроме перечисленных уравнений, в теории М. ф. у. рассматривались уравнение Ньютона движения частицы массы $m$ в поле с потенциалом $V(x),\: x= x(t)∈\mathbf{R}^3,$
$$m\frac{\partial^2 x}{\partial t^2}=-\textrm{grad}V(x),\tag5$$ уравнение Кортевега – де Фриза $$\frac{\partial u}{\partial t}-6u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^3u }{\partial x^3}=0,\:u=u(x,t),\:x\in \mathbf{R}^1$$ описывающее распространение волн на мелкой воде, и уравнение колебаний маятника
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}+a^2\textrm{sin}u=0,\:u=u(t).$$ Для уравнения (1) граничные условия $u \mid _{x\in S}=v(x)$ или $\frac{\partial u}{\partial n} \mid _{x\in S}=v_1(x)$, (6) где $S$ – граница области $G$ и $n$ – вектор внешней нормали к $S$, приводят к задачам, называемым задачей Дирихле и задачей Неймана соответственно. Для уравнения (2) начальное условие
$u(x,0)=u_0(х), x∈\mathbf{R}^n,\tag7$ определяет задачу Коши. Для уравнения (3) начальные условия $$u(x,0)=u_0(x),\:\frac{\partial u}{\partial t}\mid _{t=0}=u_1(x),\:x\in \mathbf{R}^n,\tag8$$
определяют задачу Коши. Для уравнений (2) и (3) рассматриваются также смешанные задачи, которые содержат как граничные условия (6), так и начальные условия (7) или (8). Для уравнения (4) рассматриваются граничные условия на бесконечности, которые имеют вид $u (x)=e^{ik(a,x)}+v(x),\: a∈\mathbf{R}^3,\: ∣a∣=1,$ где $i$ – мнимая единица, ($a,x$) означает скалярное произведение $a$ и $x$, а функция $v(x)$ удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда
$$v(x)=O(\mid x\mid ^{-1}),\:\frac{\partial v(x)}{\partial \mid x\mid }-ikv(x)=o(\mid x\mid ^{-1}),\:\mid x\mid \rightarrow \infty .$$
Для уравнения Ньютона (5) задаются начальные положение $x(0)=x_0$ и скорость $\frac{\partial x}{\partial t}\mid _{t=0}=x_1$ частицы при $t=0$.
К более сложным М. ф. у. относятся системы нелинейных дифференциальных уравнений гидродинамики, Гамильтона уравнения, Лиувилля уравнение, Максвелла уравнения, Навье – Стокса уравнения и др. Перечисленные уравнения и соответствующие краевые задачи составляют предмет классич. математич. физики, которая не утрачивает своего значения.
В М. ф. у. выделяется важный класс задач, поставленных корректно по Адамару, т. е. задач, для которых решение существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных.
В 20 в. с развитием квантовой физики, теории относительности и ядерной энергетики появились уравнения и краевые задачи совр. математич. физики, среди которых – Шрёдингера уравнение
$$iℏ\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{ℏ^2}{2m}\Delta u+V(x)u,\:u=u(x,t),\:x\in \mathbf{R}^3,$$
где $ℏ$ – постоянная Планка, $m$ – масса частицы, и для этого уравнения ставится задача Коши. Для стационарного уравнения Шрёдингера граничным условием может быть условие принадлежности функции $u$ к гильбертову пространству $L_2(\mathbf{R}^3)$, отражающее поведение решения на бесконечности. Среди уравнений совр. математич. физики – односкоростное уравнение переноса для изотропного рассеяния $$\frac{1}{v}\frac{\partial u}{\partial t}+(\Omega ,\textrm{grad}\:u)+\alpha u=\frac{\beta }{4\pi }\int_{\mid \Omega '\mid =1}u(x,\Omega ',t)d\Omega '+F$$
где $u(t, Ω, x)$ – плотность частиц, движущихся со скоростью $v$ в направлении $Ω,\: Ω∈\mathbf{R}^3$, $∣Ω∣=1$, в точке $x∈\mathbf{R}^3$ в момент времени $t$, и для этого уравнения рассматривается задача Коши. Для стационарного уравнения переноса в качестве граничного условия для выпуклой области рассматривается условие
$u(t, Ω, x)=0,$ при $x∈S, (Ω, n) < 0,$
где $S$ – граница области, $n$ – внешняя нормаль к $S$. Это условие означает отсутствие падающего потока частиц.
Более сложными уравнениями совр. математич. физики являются уравнения квантовой теории поля, в частности Дирака уравнение и Янга – Миллса уравнение, уравнения гравитац. поля, Боголюбова цепочка уравнений. К таким уравнениям относятся также уравнения $p$-адической математич. физики, в частности т. н. уравнение динамики тахионов $p$-адических струн
$exp(α□u)=u^p,\: u=u(t, x),\: x∈\mathbf{R}^{d-1},$
где $p$ – простое число, с граничными условиями
$u(± ∞, x)=1$ для замкнутой струны, $α=1/4;$
$u(±∞, x)=1$, $u(±∞, x)=–1$ для открытой струны, $α=1/2$, $p≠2$.