НАВЬЕ́ – СТО́КСА УРАВНЕ́НИЯ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
НАВЬЕ́ – СТО́КСА УРАВНЕ́НИЯ, дифференциальные уравнения движения сплошной среды (жидкости или газа), учитывающие её вязкость. Выведены Л. Навье в 1822 (опубл. в 1827) на основе упрощённой модели молекулярных взаимодействий. В 1845 Дж. Стокс в результате изучения стационарного движения несжимаемой жидкости получил эти уравнения в совр. форме с использованием законов сохранения массы и импульса для сплошной среды.
В простейшем случае движения несжимаемой (плотность $ρ$ постоянна) и нетеплопроводной (темп-ра $T$ постоянна) среды Н. – С. у. в векторной форме имеют вид: $$\frac{\partial v}{\partial t} + v \cdot ∇v=F - \frac{1}{ρ} ∇ p + ηΔv.$$ Здесь $v$ – скорость частицы жидкости, $t$ – время, $F$ – внешняя удельная (приходящаяся на единицу массы) сила, $p$ – давление, $η= μ/ρ$ – кинематич. коэф. вязкости ($μ$ – динамич. коэф. вязкости), $∇$ – оператор Гамильтона, $Δ$ – оператор Лапласа. Коэффициенты вязкости зависят от темп-ры и для жидкости, как правило, определяются экспериментально, а для газа выводятся из кинетич. теории газов.
Для проекций скорости $v_x,\, v_y,\, v_z$ на соответствующие оси прямоугольной декартовой системы координат Oxyz Н. – С. у. записываются в виде системы 3 уравнений: $$\frac{\partial v_χ}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} +v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} +v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} = F_x- \frac{1}{ρ} \frac{\partial p}{\partial x}+ η Δ v_x,$$ $$\frac{\partial v_y}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_y}{\partial x} +v_y \frac{\partial v_y}{\partial y} +v_z \frac{\partial v_y}{\partial z} = F_y- \frac{1}{ρ} \frac{\partial p}{\partial y} +η Δ v_y,$$ $$\frac{\partial v_z}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_z}{\partial x} +v_y \frac{\partial v_z}{\partial y} +v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} = F_z- \frac{1}{ρ} \frac{\partial p}{\partial z} +η Δ v_z.$$
Для сжимаемой теплопроводной среды к приведённым выше уравнениям добавляются неразрывности уравнение и уравнение состояния. Для идеального (совершенного) газа уравнением состояния является Клапейрона уравнение. В случае неизотермич. течений для определения темп-ры к указанной системе уравнений необходимо добавить также уравнение баланса энергии. Т. о., для вязкой теплопроводной сжимаемой среды получается полная система уравнений (называемых уравнениями Навье – Стокса – Фурье) относительно 6 величин: давления $p$, плотности $ρ$, темп-ры $T$ и трёх проекций скорости $v$.
Н. – С. у. для нестационарных задач относятся к параболич. типу. Решение системы таких уравнений требует задания начальных данных для $v,\, ρ,\, p$ и $T$, а также граничных условий на обтекаемой стенке («прилипание», т. е. нулевая скорость на границе, заданная темп-ра или тепловой поток) и на границе рассматриваемой области течения. Н. – С. у. для стационарных задач относятся к эллиптич. типу. В этом случае достаточно задать только граничные условия на границах рассматриваемой области течения и на обтекаемых поверхностях.
Н. – С. у. описывают ламинарные течения, т. е. такие, для которых Рейнольдса число меньше критического. В случае турбулентных режимов течения Н. – С. у. могут быть применены с учётом некоторых дополнит. допущений относительно компонент тензора вязких напряжений; тогда из Н. – С. у. получаются т. н. осреднённые уравнения Рейнольдса. Для газа Н. – С. у. справедливы при значениях Кнудсена числа $Kn⩽10^{–2}$. При $10^{–2}⩽Kn⩽10^{–1}$ имеет место континуальный режим, описываемый Н. – С. у. со скольжением на обтекаемой стенке.
Точные решения Н. – С. у. удаётся найти лишь для небольшого числа частных случаев. В кон. 20 – нач. 21 вв. развиты разл. численные методы решения Навье – Стокса уравнений.