НАВЬЕ́ – СТО́КСА УРАВНЕ́НИЯ

НАВЬЕ́  – СТО́КСА УРАВНЕ́НИЯ, диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния дви­же­ния сплош­ной сре­ды (жид­ко­сти или га­за), учи­ты­ваю­щие её вяз­кость. Вы­ве­де­ны Л. На­вье

в 1822 (опубл. в 1827) на ос­но­ве уп­ро­щён­ной мо­де­ли мо­ле­ку­ляр­ных взаи­мо­дей­ствий. В 1845 Дж. Стокс

 >>

в ре­зуль­та­те изу­че­ния ста­цио­нар­но­го дви­же­ния не­сжи­мае­мой жид­ко­сти по­лу­чил эти урав­не­ния в совр. фор­ме с ис­поль­зо­ва­ни­ем за­ко­нов со­хра­не­ния мас­сы и им­пуль­са для сплош­ной сре­ды.

В про­стей­шем слу­чае дви­же­ния не­сжи­мае­мой (плот­ность $ρ$ по­сто­ян­на) и не­те­п­ло­про­вод­ной (темп-ра $T$ по­сто­ян­на) сре­ды Н. – С. у. в век­тор­ной фор­ме име­ют вид: $$\frac{\partial v}{\partial t} + v \cdot ∇v=F - \frac{1}{ρ} ∇ p + ηΔv.$$ Здесь $v$ – ско­рость час­ти­цы жид­ко­сти, $t$ – вре­мя, $F$ – внеш­няя удель­ная (при­хо­дя­щая­ся на еди­ни­цу мас­сы) си­ла, $p$ – дав­ле­ние, $η= μ/ρ$ – ки­не­ма­тич. ко­эф. вяз­ко­сти ($μ$  – ди­на­мич. ко­эф. вяз­ко­сти), $∇$ – опе­ра­тор Га­миль­то­на, $Δ$ – опе­ра­тор Ла­п­ла­са. Ко­эф­фи­ци­ен­ты вяз­ко­сти за­ви­сят от темп-ры и для жид­ко­сти, как пра­ви­ло, оп­ре­де­ля­ют­ся экс­пе­ри­мен­таль­но, а для га­за вы­во­дят­ся из ки­не­тич. тео­рии га­зов.

Для про­ек­ций ско­ро­сти $v_x,\, v_y,\, v_z$ на со­от­вет­ст­вую­щие оси пря­мо­уголь­ной де­кар­то­вой сис­те­мы ко­ор­ди­нат Oxyz Н. – С. у. за­пи­сы­ва­ют­ся в ви­де сис­те­мы 3 урав­нений: $$\frac{\partial v_χ}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} +v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} +v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} = F_x- \frac{1}{ρ} \frac{\partial p}{\partial x}+ η Δ v_x,$$   $$\frac{\partial v_y}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_y}{\partial x} +v_y \frac{\partial v_y}{\partial y} +v_z \frac{\partial v_y}{\partial z} = F_y- \frac{1}{ρ} \frac{\partial p}{\partial y} +η Δ v_y,$$   $$\frac{\partial v_z}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_z}{\partial x} +v_y \frac{\partial v_z}{\partial y} +v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} = F_z- \frac{1}{ρ} \frac{\partial p}{\partial z} +η Δ v_z.$$

Для сжи­мае­мой те­п­ло­про­вод­ной сре­ды к при­ве­дён­ным вы­ше урав­не­ни­ям до­бав­ля­ют­ся не­раз­рыв­но­сти урав­не­ние

и урав­не­ние со­стоя­ния. Для иде­аль­но­го (со­вер­шен­но­го) га­за урав­не­ни­ем со­стоя­ния яв­ля­ет­ся Кла­пей­ро­на урав­не­ние

 >>

. В слу­чае не­изо­тер­мич. те­че­ний для оп­ре­де­ле­ния темп-ры к ука­зан­ной сис­те­ме урав­нений не­об­хо­ди­мо до­ба­вить так­же урав­не­ние ба­лан­са энер­гии. Т. о., для вяз­кой те­п­ло­про­вод­ной сжи­мае­мой сре­ды по­лу­ча­ет­ся пол­ная сис­те­ма урав­не­ний (на­зы­вае­мых урав­не­ния­ми На­вье – Сто­кса – Фу­рье) от­но­си­тель­но 6 ве­ли­чин: дав­ле­ния $p$, плот­но­сти $ρ$, темп-ры $T$ и трёх про­ек­ций ско­ро­сти $v$.

Н. – С. у. для не­ста­цио­нар­ных за­дач от­но­сят­ся к па­ра­бо­лич. ти­пу. Ре­ше­ние сис­те­мы та­ких урав­не­ний тре­бу­ет за­да­ния на­чаль­ных дан­ных для $v,\, ρ,\, p$ и $T$, а так­же гра­нич­ных ус­ло­вий на об­те­кае­мой стен­ке («при­ли­па­ние», т. е. ну­ле­вая ско­рость на гра­ни­це, за­дан­ная темп-ра или те­п­ло­вой по­ток) и на гра­ни­це рас­смат­ри­вае­мой об­лас­ти те­че­ния. Н. – С. у. для ста­цио­нар­ных за­дач от­но­сят­ся к эл­лип­тич. ти­пу. В этом слу­чае дос­та­точ­но за­дать толь­ко гра­нич­ные ус­ло­вия на гра­ни­цах рас­смат­ри­вае­мой об­лас­ти те­че­ния и на об­те­кае­мых по­верх­но­стях.

Н. – С. у. опи­сы­ва­ют ла­ми­нар­ные те­че­ния, т. е. та­кие, для ко­то­рых Рей­нольд­са чис­ло

мень­ше кри­ти­че­ско­го. В слу­чае тур­бу­лент­ных ре­жи­мов те­че­ния Н. – С. у. мо­гут быть при­ме­не­ны с учё­том не­ко­то­рых до­пол­нит. до­пу­ще­ний от­но­си­тель­но ком­по­нент тен­зо­ра вяз­ких на­пря­же­ний; то­гда из Н. – С. у. по­лу­ча­ют­ся т. н. ос­ред­нён­ные урав­не­ния Рей­нольд­са. Для га­за Н. – С. у. спра­вед­ли­вы при зна­че­ни­ях Кнуд­се­на чис­ла

 >>

 $Kn⩽10^{–2}$. При $10^{–2}⩽Kn⩽10^{–1}$ име­ет ме­сто кон­ти­ну­аль­ный ре­жим, опи­сы­вае­мый Н. – С. у. со сколь­же­ни­ем на об­те­кае­мой стен­ке.

Точ­ные ре­ше­ния Н. – С. у. уда­ёт­ся най­ти лишь для не­боль­шо­го чис­ла ча­ст­ных слу­ча­ев. В кон. 20 – нач. 21 вв. раз­ви­ты разл. чис­лен­ные ме­то­ды ре­ше­ния На­вье – Сто­кса урав­не­ний.