ЛИУВИ́ЛЛЯ УРАВНЕ́НИЕ

ЛИУВИ́ЛЛЯ УРАВНЕ́НИЕ, урав­не­ние для функ­ции рас­пре­де­ле­ния плот­но­сти ве­ро­ят­но­сти $ρ(q,p)$ на­хо­ж­де­ния ди­на­мич. сис­те­мы c $n$ сте­пе­ня­ми сво­бо­ды в 2$n$-мер­ном фа­зо­вом про­стран­ст­ве всех обоб­щён­ных ко­ор­ди­нат $q$ и обоб­щён­ных им­пуль­сов $p$. Ве­ро­ят­ность сис­те­мы на­хо­дить­ся в эле­мен­те объ­ё­ма $(dqdp)$ фа­зо­во­го про­стран­ст­ва рав­на $$ρ(q,p)dqdp = ρ(q,p)dq_1…dq_ndp_1...dp_n.$$

Л. у. име­ет вид: $$\partial \text p/\partial t=\sum_i[(\partial H/\partial q_i)(\partial \text p/\partial p_i)-(\partial H/\partial p_i)(\partial \text p/\partial q_i)],$$ где $t$ – вре­мя, $H$ – Га­миль­то­на функ­ция

. Пра­вая часть дан­но­го урав­не­ния пред­став­ля­ет со­бой из­вест­ное пре­об­ра­зо­ва­ние двух функ­ций мно­го­мер­но­го про­стран­ст­ва (в дан­ном слу­чае функ­ций $H$ и $ρ$), име­нуе­мое скоб­ка­ми Пу­ас­со­на – $\left \{H,r \right \}$. По­это­му Л. у. за­пи­сы­ва­ют так­же в ви­де $\partial ρ/\partial t=\left \{H,\rho \right \}$. Л. у. мо­жет быть за­пи­са­но в век­тор­ной фор­ме: $\partial ρ/\partial t=\textbf u\: \text{grad} \rho$, где $u$ – век­тор ско­ро­сти из­ме­не­ния обоб­щён­ных ко­ор­ди­нат и им­пуль­сов.

Со­глас­но Га­миль­то­на урав­не­ни­ям

, $\partial H/\partial q_i= –dp_i/dt,\; \partial H/\partial p_i=dq_i/dt$, по­это­му Л. у. мо­жет быть пред­став­ле­но в ви­де $$\partial \text p/\partial t=-\sum_i[(\partial p_i/\partial t)(\partial \text p/\partial p_i)+(\partial q_i/\partial t)(\partial \text p/\partial q_i)].$$

По­след­няя за­пись есть раз­вёр­ну­тая (в ча­ст­ных про­из­вод­ных) фор­ма за­пи­си Лиу­вил­ля тео­ре­мы

: $dρ/dt=0$.

Для кван­то­вых сис­тем вме­сто клас­сич. функ­ции рас­пре­де­ле­ния ис­поль­зу­ет­ся кван­то­вой опе­ра­тор $\hat{\rho}_k$ – мат­ри­ца плот­но­сти

, удов­ле­тво­ряю­щая кван­то­во­му Л. у.: $iℏ\partial \hat{\rho}_k/\partial t=[\hat{H}, \hat{\rho}_k]$, где  $\hat{H}$ – опе­ратор Га­миль­то­на, $i$ – мни­мая еди­ни­ца, $ℏ$ – по­сто­ян­ная План­ка, квад­рат­ные скоб­ки обо­зна­ча­ют ком­му­та­тор опе­ра­то­ров $\hat{H}$ и $\hat{\rho}_k$.

Л. у. иг­ра­ет клю­че­вую роль в ап­па­ра­те ста­ти­стич. фи­зи­ки, т. к. функ­ция рас­пре­де­ле­ния $ρ(q,p)$ – ин­те­грал дви­же­ния. Ве­ро­ят­ность со­стоя­ния двух не­за­ви­си­мых под­сис­тем рав­на про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей, и, сле­до­ва­тель­но, ло­га­рифм функ­ции $ρ(q,p)$ – ад­ди­тив­ный ин­те­грал дви­же­ния. Это по­зво­ля­ет ус­та­но­вить фун­дам. связь $\text{ln}\:ρ(q,p)$ с из­вест­ны­ми в ме­ха­ни­ке ад­ди­тив­ны­ми ин­те­гра­ла­ми дви­же­ния – энер­ги­ей и др.